例谈数形结合在解证不等式中的作用

2008-01-05 06:39贺树泳
中学数学研究 2008年12期
关键词:数形曲线直线

贺树泳

江西省莲花中学 (337100)

抽象性是数学最显著的特点之一,抽象的程度越高,它所概括的范围就越大,但另一方面也给数学蒙上了一层神秘的面纱,这也是学生感到数学难学的重要原因.尤其是对不等式的求解和证明,思维切入困难,放缩的目标不明确,特别对含参数不等式的证明更加难于把握. 因此,恢复和发现抽象的数量关系之几何形象,运用数形结合的思想,将不等式证明题中的 抽象性复杂性转化为直观的几何求解或证明,既能帮助学生快速找到解题途径,又可以发展他们的思维并激发其浓厚的兴趣,从而使学生达到活用数学思想方法来分析和解决问题的高境界.本文撷取几例来说明数形结合在解证不等式中的作用.

一、利用数形结合的直观性,增强解题中的求简意识

有些不等式的求解问题,虽能解决但过程繁琐,但根据问题的条件和结论的内在联系数形结合,往往能获得简单的解题思路.

例1 已知集合A={x|玪g(x2-2ax+a2+1)<玪g2},B={x|(x-a)(x-2)>0},若A∪B=R,求a的范围.

析解:按常规必须分a<2,a=2,a>2分别求出B集,再利用A∪B=R求出a的范围,最后求这些范围的并集,运算太繁,若用数形结合可以避开对a的讨论,得到简解.

解:∵A={x|a-10,如图1,要使A∪B=R其等价于f(a-1)>0

f(a+1)>0-(a-3)>0,

a-1>0,

∴1

例2 已知函数f(u)=u2+au+(b-2),其中u=x+1x(x∈R,x≠0),若a,b是可使f(u)=0至少有一实数根的实数,求a2+b2的最小值.

分析:该题如看作u的一元二次方程,利用实数根的分布知识来求解,过程较繁,但利用数形结合的知识,把a,b看作变量,则要容易得多.

解:∵u2+au+(b-2)=0,且|u|≥2,即au+b+u2-2=0①,而所求a2+b2可看作直线①上的点(a,b)与原点(0,0)的距离的平方.根据点到直线的距离公式d=|u2-2|u2+1,

∴a2+b2=d2=(u2-2)2u2+1=(u2+1)2-6(u2+1)+9u2+1=u2+1+9u2+1-6,∵u2≥4,且f(u)=u2+1+9u2+1在u2≥4上单调递增,∴a2+b2≥45.∴a2+b2的最小值为45.

二、利用式子特征,巧妙构造图形,运用数形结合的思想解决问题,提高学生分析和解决问题的能力

有些数学式子本身,如果加以认真分析,既能分析式子的特征,又能揭示其几何意义,这时数形结合应该是一种很好的思想与方法.

例3 比较玪og20052004与20032004的大小.

析解:该题三个连续的数通过对数与分式,巧妙地连在一起,按常规先化为常用对数,再作差比较大小,计算繁难不说,也看不出其巧妙之处,现利用数形结合,先作出对数曲线y=玪og2005獂,如图2,过两点A(1,0),B(2005,1),设直线x=2004交曲线和AB于C(2004,y0),D(2004,y1),由对数曲线的凸性可知C点在D点之上,所以y0>y1,即玪og20052004>20032004.

例4 设a,b,c皆为正数,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.

分析:该题的证法有多种,考虑其对称美、轮换美、和谐美特点,利用数形结合构造曲线y=1x可以得到一种简捷的几何证法.

证明:在曲线y=1x上任取三点A(a,1a),B(b,1b),C(c,1c),则△ABC的重心G的坐标为x0=13(a+b+c),y0=13(1a+1b+1c),如图3,由曲线y=1x的凹性可知,G在曲线的上方,故有y0>1x0,代换后得证.

三、运用换元、设参等构造手法活用数形结合的思想,发掘知识的内在联系,从而提高学生的数学素质

有些数学问题,如能运用图形直观地研究数、式,从而培养学生联系和转化的观点,能全面提高数学素质.

例5 证明:2t+4+1-t≥3.

分析:该题可视t为参数引入参数方程,消t转化为直线和曲线有公共点的问题来证明.

证明:显然t∈[-2,1],设x=1-t,

y=2t+4,得x23+y26=1(0≤x≤3,0≤y≤6),如图4,表示椭圆x23+y26=1在第一象限的一段弧(包括端点).不等式左边U=x+y表示平行直线系,所以当直线系过点A(3,0)时直线和曲线有公共点,且U有最小值,U﹎in=3.∴2t+4+1-t≥3.

例6 已知a>0,2b>a+c,求证b-b2-ac

分析:待证的结论易让人联想到求根公式,所以构造二次函数f(x)=ax2-2bx+c,利用数形结合,从而获得证题的一种巧妙方法.

证明:设f(x)=ax2-2bx+c,由已知a>0,且2b>a+c,所以f(1)=a-2b+c<0.=∴f(x)的大致图像右图5,即开口向上,与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),且x1<1

四、利用数形结合的思想解决目标函数的最值问题,从而更进一步深化知识,提升能力

例7 设等差数列{a璶}的前n项和为S璶,若S4≥10,S5≤15,求a4的最大值.(08年四川高考题)

析解:设{a璶}首项为a1,公差为d,则有2a1+3d≥5,

a1+2d≤3,∴a4=a1+3d≥5-3d2+3d≥5+3d2,又a4=a1+3d≤3+d,∴5+3d2≤a4≤3+d,∴d≤1,∴a4≤4,∴a4的最大值为4.

但上述解法利用了放缩,学生不容易想到.如果利用简单的线性规划知识,作出可行域易知,求a4的最值,如图6,只要将初始直线a1+3d=0平移到过点A(1,1)时达到(a4)┆玬ax=1+3×1=4.

总之,数形结合的思想在数学教学和解题过程中的作用显而易见,其功能有待不断挖掘,在当前提倡素质教育,培养高素质人才的时候,更应加强各种数学思想的渗透,培养学生良好的数学思维品质.

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