一道题的错解引发的思考

陈春芳

江苏省锡山高级中学 (214174)

一、案例

下面的解析几何题是我校高三的一次测试中的填空题，在讲评课上我按照自己的解法讲解了 ，当时没有发现问题，也没有学生表示异议，事隔几天后，一位学生拿着试卷来问我这道题 目.当时我还有点不耐烦地说，不是上课已经讲评过了吗?没听懂?这位学生说，你的解法我 听懂了，但是我的解法跟你的解法不一样，得出来的结果也不同，我觉得我做的也是对的. 下面我们一起来看一下这道题的两种不同解法.

题目 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为 .

1.教师的解法

解：如图1所示，设抛物线与双曲线的两个交点分别为A、B，则由题意可知x瑼=x瑽=c，又∵抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，∴p2=c，即p=2c.∵点A在抛物线上，∴将x瑼=c代入y2=2px，得y瑼=2c,得点A(c,2c)，将之代入x2a2-y2b2=1，得c2a2-4c2b2=1.∴b2c2-4a2c2=a2b2,将b2=c2-a2,代入整理得a4-6a2c2+c4=0.两边同时除以a4得e4-6e2+1=0,∴e2=3±22.∵e>1,∴e2=3+22，即e=1+2.

2.学生的解法

解：∵抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，∴p2=c，即p=2c.联立y2=2px,

x2a2-y2b2=1,消去y得b2x2-4a2cx-a2b2=0,∵抛物线与双曲线有两个交点，不妨设为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程b2x2-4a2cx-a2b2=0的两根，∴x1+x2=4a2cb2,∵两条曲线交点的连线过焦点F，∴x1=x2=2a2cb2,又x1=x2=x璅=c,∴2a2cb2=c,即2a2=b2.将b2=c2-a2，代入上式得3a2=c2,∴e=3.

3.究竟错在哪里?

不同的解法得出了不一样的结果，难道是题目错了?带着疑问我对两种解法进行了剖析.第一种解法是根据A是两曲线的交点，利用点在曲线上，用字母表示出交点的坐标，从而得出了离心率的值.而第二种解法是根据交点坐标即为方程组的解，然后运用韦达定理将根的关系转化成系数之间的关系从而得出了离心率的值.在这两种解法中交点的坐标的求法不同，难道问题就出在这里?但是哪一种解法不对呢?是什么原因呢?只有回到具体的解题过程中才能找到问题的所在.

我们就第二种解法进行分析，这里采用了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，但是我们熟知韦达定理的完整内容是x1+x2=-ba,獂1•x2=ca(其中a,b,c是方程ax2+bx+c=0的系数).而在此解答过程中只用到x1+x2=-ba，那么我们再看看x1•x2=-a2，看起来这个等式对于本题的解答无关紧要，但是我们仔细分析将发现问题的所在.我们再看原题，A、B两点是抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2-y2b2=1图像的两个交点，我们借助图形来分析，抛物线位于y轴的右侧，即两个交点均在y轴的右侧，那么它们的横坐标应该满足x1>0,x2>0，这与x1•x2=-a2<0矛盾.而在学生的解法中，她错误地认为两根都是正根.当时，我没有就她的解法深入地研究下去，只是粗略地分析了一下，而且还对她说第二种解法是错误的，这道题目不能这么解.

4.学生的解法能否改进?

解析几何是用代数的方法研究几何问题.既然这道题目没有问题，那么从代数的角度也能够有解决该问题的方法.学生的解法是代数的方法，应该也能够解决该几何问题.于是，我就研究了第二种方法错误的原因，从而得出了如下正确的解法.

解：∵抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，∴p2=c，即p=2c.联立y2=2px

x2a2-y2b2=1消去y得b2x2-4a2cx-a2b2=0.设x1,x2是方程b2x2-4a2cx-a2b2=0的两根，则x1+x2=4a2cb2,

x1•x2=-a2,由此可知方程有一正根一负根.

∵抛物线与双曲线有且只有两个不同的交点，则方程b2x2-4a2cx-a2b2=0有且只有一个正根满足题意，另一个负根必为增根.不妨设x1>0,由题意可设A(x1,y1),B(x1,y2)，则x1=x璅=c.将x1=c代入方程b2x2-4a2cx-a2b2=0可得，b2c2-4a2c2-a2b2=0.将b2=c2-a2代入整理得a4-6a2c2+c4=0,两边同时除以a4得e4-6e2+1=0,∴e2=3±22，∵e>1,∴e2=3+22，即e=1+2.

二、思考

1.学习过程中我们可以采用类比的方法，但不能照搬

学生提供的解法错误的原因是什么呢?根据方程研究直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容，求交点的方法也都可以通过联立方程组，方程组的解即为交点坐标.对于直线与曲线的交点问题，我们通常通过建立方程组ax+by+c=0(1)

Ax2+By2+C=0(2)消元得到方程Dx2+Ex+F=0(*).如果方程(*)无解，则直线与曲线无交点，如果方程(*)有唯一的解，则直线与曲线有且只有一个交点，如果方程(*)有两个不等的实数解，则直线与曲线有两个交点.原方程组解的个数与方程(*)解的个数相同.但是这个结论在本题中不能套用，抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2-y2b2=1的交点问题仍然可以联立方程组y2=2px(3)

x2a2-y2b2=1(4)消去y得b2x2-2a2px-a2b2=0(**).如果方程(**)无实根，则原方程组无解，如果方程(**)有一个正根，将之代入(3)或(4)都可以得到两个根，也就是原方程组有两组解，对应的抛物线与双曲线有两个交点.如果方程(**)有一个负根，则代入(3)可知这个根不满足原方程组，这就是本题中导致第二种解法错误的原因.当我们发现有两种对象结构特征相似时，不加以深思，就进行类比，盲目地把解法照搬，这样得出的结果常常是牵强附会的，有时还会是错误的.

2.由“形”向“数”转化一定要等价，不能顾此失彼

我们常将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.这种思想贯穿于平面解析几何的始终，但是在“形”向“数”转化的过程中应遵循等价 性原则.

下面举例简要说明.

例1 已知抛物线y2=6x与圆(x-a)2+y2=4没有公共点，求实数a的取值范围.

分析：根据题意画出示意图，由图2可知当圆位于y轴左侧，容易得到a<-2时满足没有公共点条件，但是当圆位于y轴右侧时很难从“形”的角度分析出临界位置，因此需要从“数”的角度进行精确分析，正所谓“形缺数时难入微”.

解：联立方程组y2=6x,

(x-a)2+y2=4,消去y得x2+(6-2a)x+a2-4=0(***) ∵抛物线与圆没有公共点，∴方程(***)无非负实根，即方程(***)无实根或者有两个负实根，∴△<0或△≥0，

x1+x2=2a-6<0,

x1•x2=a2-4>0,∴a<-2或a>2.

上述解法是用代数的方法处理了几何问题，但是在将两条曲线无交点的问题转化为代数问题的过程中往往易出现错误.例如容易转化为方程(***)无实根，这种错误解法产生的原因是忽略了抛物线y2=6x中隐含的条件“x≥0”，从而得到的结论与原来的命题不等价.

3.注意“数形结合”在解析几何中的应用，不可“纯代数化”

解析几何是“以代数方法研究几何问题”，但是要注意代数与几何的相互作用，强调数与形的结合.借助数形结合可以克服数学学习的抽象性，增加数学语言和符号的直观性.实际上，首先应该明确面临的几何问题是什么，然后才能用代数方法研究之.所以，一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”.如果过多地把注意力集中在代数角度研究，虽然能达到细致入微的境界，但是没有直观形象的支撑，最后还是不能很好地把握几何性质，有时甚至会导致解题变得更繁琐.因此解决解析几何的问题时一定要注意数形结合，选择恰当的解法.

例2 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x24+y2m=1总有公共点，求m的取值范围.这是一道作业题，当时近半数同学的解答过程是这样的：

解：联立方程组y=kx+1,

x24+y2m=1,消去y得(14+k2m)x2+2kmx+1m-1=0(****)，若直线与椭圆总有公共点，则不论实数k取何值，方程(****)在x∈［-2，2］时总有解，这个代数问题既涉及了恒成立问题，又涉及了闭区间上有解的问题，这是高中数学的难点，几乎大部分学生都是束手无策，本解法只能就此搁浅.

这些学生基本上是套用现成的结论，曲线无公共点即联立曲线方程应该无解，而他们忽略了本题是含有参数的问题，如果从数的角度思考，难度无形中就增加了很多.解决解析几何问题，分析图形特征仍是首要的任务.本题只需要画出图形，如图3，直线尽管不是确定的，但是这些直线是过定点(0，1)，当直线的位置发生变化时，只要保证定点(0，1)在椭圆内部，则直线与椭圆总会有公共点，也就是只要024+12m<1,同时由于椭圆焦点在x轴上，所以m<4，最后解得正确答案1≤m<4.

很多学生在讨论解析几何问题时，没有画图的习惯，完全变成了代数的恒等变换，这样做不好.解析几何是研究图形的学科，“图”在解析几何研究中发挥着很重要的作用，它可以帮助我们确定解题的方向.教师在解析几何的教学中，应帮助学生养成画图的习惯，促进“数形结合”思想的逐步形成.

4.注重“同伴互助”，促进师生共同进步

同伴互助是在强调自我反思的同时，开放自己，主动与教学伙伴进行合作性的切磋和讨价还价式的探讨，共同探究问题，共同分享经验.在新课程中更应强调同伴互助和合作，师生之间应建立积极的伙伴关系，建立一种新的促进师生合作、发展的教育文化，形成宽松的环境和开放的氛围，加强师生之间教学、学习活动中的交流与对话、沟通、协作、合作，使不同的理念、思想在不断的交流与冲突中升华.教师要时时积极准备参与学生的竞争，这对教师提出了极高的要求，甚至是极严峻的考验.学生不盲从长者，不迷信权威，这标志着时代的进步，也是我们教育的成功.