几何证明，谨防“预期理由”错误

杨俊林

江苏省泰州师范高等专科学校数理科学系 (225300)

众所周知，公理化方法的诞生是以《几何原本》的问世为标志的.所谓公理化方法即从原始概念和公理出发，依靠严密的逻辑推理，将各种各样的命题根据内在的逻辑关系组织起来，使得对各种各样的理论体系及它们的相互之间关系的研究成为可能.欧几里得从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理.他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5个公理.由此出发，他运用演绎方法将当时所知几何学知识全部推导出来.但欧氏几何的公理系统是不够完善的，其主要不足可以概括为：(1)有些定义是不自足的，亦即往往使用一些未加定义的概念去对别的概念下定义；(2)有些定义是多余的，略去它们毫不影响后面的演绎和展开；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观.即他所选择的公理不完备，缺少表示点与点间顺序关系的顺序公理，关于合同图形的运动公理，反映直线连续性的连续公理等.

考虑到现行中学数学教材中几何部分的公理体系基本上雷同于欧几里得公理体系，因而教师在教学过程中稍有不慎也会与学生一样犯“预期理由”错误.所谓“预期理由”是指将“对图形的直观理解作为推理论证的理由”.当我们对感性、直观过分依赖而导致一些论证错误时，这时我们称之为“预期理由”错误.

德国数学家克莱因(F•Klein)在他的名著《以高等数学观点看初等数学》里提出了一个后人常为传诵的命题，用以说明在初等几何证明中由于过分依赖直观所犯的错误：可以证明，任何三角形皆等腰.他是这样证明的：

证明：设△ABC是任一三角形，作BC的中垂线DO与∠BAC的内角平分线AO相交于点O，过点O作垂线OE，OF分别垂直于直线AB，AC，连接OB和OC(如图1)，则△AOE与△AOF全等，△ODB与△ODC全等，△OBE与△OCF全等.若DO与AO相交于△ABC内(图1(1))，便有AB=AE+BE=AF+CF=AC；若DO与AO相交于三角形ABC外(图1(2))，便有AB=AE-BE=AF-CF=AC.可见无论是哪种情况，三角形都是等腰三角形.

上述证明的错误在于推理依据证明者自己所画图形“过∠BAC的内角平分线与BC的中垂线的交点O作AB、AC的垂线，垂足或都在线段AB、AC上或都在AB，AC的延长线上”.仔细画图发现，对于非等腰三角形，过点O作AB、AC的垂线，垂足一个在线段上，另一个在线段的延长线上.

类似的错误还可以得出“直角等于钝角”的荒谬结论：

如图2所示，在矩形ABCD外作BE=BC，连接DE，分别作DE、AB的中垂线，由于AB不平行于DE，所以它们的中垂线必交于一点，设为点P.连接AP、BP、DP、EP，则有△DAP≌△EBP，因而有∠DAP=∠EBP.又因为∠BAP=∠ABP，所以∠DAB=∠EBA.

显然，上述证明犯了“预期理由”错误.图2中，∠PBE=∠PBA+∠ABC+∠CBE.事实上，如图3，延长PM交DC于K，连接PC，则PK也是DC的中垂线，因而PD=PC.又因为PE=PD，所以PC=PE.考虑到BE=BC，因而直线PB就是线段CE的中垂线.直线PE，PC应在直线PB的两侧，而不是像图2那样在直线PB的同侧，故而∠PBE=360°-(∠PBA+∠ABC+∠CBE).

以上所列举的一些例子在说明本话题时是比较生动的，但由于结论的荒谬我们在认识上首先确信推理过程一定有问题，从而将注意点放在找推理中出现的问题上.在平时教学过程中，有些问题的结论正确与否不明显，而在论证过程中不经意间又将直观图形当作了推理的依据，这时错误就显得比较隐蔽，不易被发现，如下面的例子：

例1 四边形ABCD中，AB>CD,BC>AD，则是否一定有∠D>∠B?

这是一道初中数学考试题中一选择题的选择支，不少教师给出了肯定的结论，其中一位教师还给出了如下证明：

如图4，以线段AC的中垂线为对称轴，作B点的对称点B′，则B′A=BC,B′C=AB,∠ABC=∠AB′C.在△AB′D中，AB′>AD，所以∠ADB′>∠AB′D.同理可证∠CDB′>∠CB′D.所以∠CDA>∠AB′C=∠ABC.

事实上，题目的结论是不正确的，这可以通过下面的反例加以说明.如图5，在四边形ABCD中，AB=AC=1,CD=12,AB⊥AC，∠DCA=120°,∠B=45°.显然有AB>CD且AD=74<2=BC，但玸in∠D=37<12=玸in∠B.由于∠B，∠D皆为锐角，所以∠D<∠B.

回过头来看看该教师的证明不难发现，他的证明依赖了图形的特殊性，根据自己画出的图形作出了“线段DB′在∠ADC内”的假定，如果我们在图5中以AC的中垂线为对称轴作出点B的对称点B′，再连接DB′，我们会发现DB′就不在∠ADC内.

例2 AM是△ABC的中线，∠AMB与∠AMC的平分线分别交AB、AC于E、F，连接EF.求证：EF

对于本题学生中的普遍做法如下：

证明：如图6，在AM上取一点K，使MK=BM=MC，连接EK，FK，则有△BME≌△KME，△KMF≌△CMF.所以，BE=KE,CF=KF.因为EF

显然，上述证明问题在于点K的位置，根据图6，点K在EF的上方，但点K为什么不会在线段EF上或线段EF下方呢?这就需要另作证明，否则证明不完备.下面的证法就做到这一点：

证明：如图7，延长FM到G，使MG=MF，连接BG，EG.因为BM=MC,FM=GM,∠FMC=∠GMB，所以△FMC≌△GMB，FC=BG.因为EM，FM分别为∠AMB与∠AMC的平分线，所以EM⊥GF.又因为FM=GM,所以EM垂直平分GF，因而EG=EF.由于EG

由于欧氏几何公理系统先天性的缺陷，在实际教学中证明一些几何题时还必须依赖于图形，或者说依赖图形证明一些几何题未必都会犯“预期理由”错误，如下题：

例3 如图8，在锐角三角形中，AB>AC,AM为中线，P为△AMC内一点，证明:PB>PC.

证明：过点M作直线垂直于BC，交PB于点K，连接KC，则直线KM为BC的垂直平分线，故而有BK=KC.因为KC+KP>PC，所以有：BP>PC.

显然，上述证明运用了“直线BP为连续直线，因为与直线KM不平行，所以与直线KM必相交”这一结论.从教学过程的角度看，这是可行的.当然，也有一些教师引导学生避开使用这一结论，采用了下面的证法：

证明：如图9，在△ABM与△ACM中，AM是公共边，BM=CM,AB>AC,则∠AMB>∠AMC，所以∠AMC<90°.过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H在线段MC上，BH>BM=MC>HC，于是PB>PC.(这里运用了结论：在△ABC与△A′B′C′中，AB=〢′B′,狝C=A′C′，则∠A>∠A′贐C>B′C′)

总之，由于欧氏几何公理系统的先天性不足，我们在进行平面几何证题教学过程中，适当依赖直观是必须的，但作为数学教师必须做到心中有数，要把握好分寸，避免因过多依赖图形直观而犯“预期理由”错误.

参考文献

［1］萧文强.数学证明［M］.南京：江苏教育出版社，1990，7.

［2］季素月.中学数学概念原理与方法［M］.桂林：广西师范大学出版社，1991，6.

［3］徐利治.数学方法论十二讲［M］.大连：大连理工大学出版社，2007，11.

［4］钱展望，朱华伟.奥林匹克数学(初二分册)［M］.武汉：湖北教育出版社，2002，3.