共边定理

张景中等

有些题目看似简单，但仔细想想，却会有新的发现.

图1中有△PAB和△QAB，问：△PAB与△QAB的面积之比是多少？

这个问题不难解答.因为三角形面积等于底和高之积的一半，显然△PAB和△QAB共底，要求面积之比，只需求两三角形的高之比.作出两三角形的高PD、QE（如图2），可得 = .那么，我们要做的工作就是作两个高，测量两次，作一次计算，这个问题就解决了.

有没有更简单一点的办法呢？因为作高比较麻烦.如果只是尺子一摆，顺手作出，那么就可能出现较大的误差.可不可以避免作高呢？办法也是有的.可以延长PQ、AB（如图3），使之相交于点M，则有 = .这是为什么呢？

学过相似三角形的读者很快就会发现△PDM ∽△QEM，因而有 = .那么，没有学过相似三角形的读者能否明白其中的道理呢？办法仍然是有的.在直线AB上取点N（如图4），使得MN = AB，于是 == .这里用到了“同高三角形的面积之比等于底之比”.因为我们把PM看成△PNM的底，把QM看成△QNM的底，那么△PNM和△QNM就成了同高三角形.

回顾我们思考的过程，从中可以获得一些有益的启示：

第一，不要放过那些表面上看似寻常的问题，它们的背后也许还有很多你没弄明白的东西.

第二，找到一种解决方法的时候，不妨再想想，有没有更简单、更高明的方法.

第三，更简单、更高明的方法也许要用到更多的数学知识.不妨进一步想想，能否用更少的、更基本的知识来说明它.

问题并没有结束，我们还可以举一反三.图1中画出的两个三角形有一条公共边AB.但是，有公共边的两个三角形情形是多种多样的，它们的位置并不一定像图1那样.下面我们给出一个定理.

共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图5，有4种情形），则有 = .

可能有读者会认为，既然有4种情形，就应该分情况进行讨论了，那多麻烦啊！其实不必紧张，证明过程和我们前面的推理完全一样，照搬就可以了.

证明：在直线AB上取一点N，使得MN = AB，则△PMN与△QMN共高（分别以PM、QM为底），则有 == .

从本质上讲，共边定理是“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论.它的用途相当广泛，下面举几个例子.

例1如图6，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边中点，CE与BD交于点F.求证：CF = 2FE.

证明： === 2. 故CF = 2FE.

本题相当于图5（1）中的情形.点F实质上是△ABC的重心.

例2如图7，在△ABC内任取点G，连接AG、BG、CG，分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求证：

++= 1.

证明： ++=++== 1.（可参照图5（2））

例3如图8，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AC上，且BD = BC，CE = CA，AD、BE交于点R，求和.

解：由共边定理， === ，故 = ；=== 1，故 = .

例4（第15届“五羊杯”九年级数学竞赛试题）如图9，△ABC中，BP ∶ PQ ∶ QC = 1 ∶ 2 ∶ 1，CG ∶ AG = 1 ∶ 2，求BE ∶ EF ∶ FG.

解：设S△ABC = 1，则S△ABP = ，S△AGP = S△APC = · = ，S△ABQ = ，S△AGQ = S△AQC = · = ， == ， == ，故BE = BG，FG = BG，EF = 1 -- BG = BG.BE ∶ EF ∶ FG= 11 ∶ 16 ∶ 6.

例5如图10 ，过△ABC的顶点B的两条直线BG、BH与BC边上的中线AD交于点E、F，且AE ∶ EF ∶ FD = 4 ∶ 3 ∶ 1，求S△BAG ∶ S△BGH ∶ S△BHC.

解： == · = ； == · = .从而S△BAG = S△ABC，S△BHC = S△ABC，S△BGH = 1 -- S△ABC = S△ABC.

故S△BAG ∶ S△BGH ∶ S△BHC = 3 ∶ 4 ∶ 2.

一个定理的用途越多，越说明这个定理重要.从上面几个例题来看，共边定理的作用确实不小.掌握好这一有用的工具后，甚至一些给九年级学生做的奥赛题，七年级、八年级的学生就能很好地解决.以后我们会对共边定理作进一步的探讨.Y