构造平行四边形解题

庄亿农

对于有些几何问题,若能根据题目中的条件和图形特征,添加适当的辅助线,构造出平行四边形,然后利用平行四边形的性质,往往能使问题得到巧妙解决.

一､构造平行四边形,求角的大小

例1如图1,六边形ABCDEF中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,求∠AFE的大小.

分析:由条件CD∥AF和∠D=∠A,联想到构造平行四边形.

解:延长AF､DE交于点Q,延长DC､AB交于点P.如图2 .因为CD∥AF,所以∠D+∠Q=180°.又∠D=∠A,所以∠A+∠Q=180°.所以AP∥QD,所以四边形AQDP是平行四边形,所以∠Q=∠P.又因为∠P=∠BCD-∠CBP=124°-90°=34°,所以∠Q=34°.又∠DEF=80°,所以∠QEF=180°-80°=100°.所以∠AFE=∠QEF+∠Q=100°+34°=134°.

二､构造平行四边形,证明两角相等

例2如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,试证明∠B=∠C.

分析:要说明∠B=∠C,可过点A作DC的平行线,构造平行四边形来解决问题.

解:作AE∥DC,交BC于点E,如图4所示.因为AD∥BC,所以四边形AECD是平行四边形.所以AE=DC.因为AB=DC,所以AB=AE,所以∠B=∠AEB.因为AE∥DC,所以∠AEB=∠C.所以∠B=∠C.

三､构造平行四边形,证明线段相等

例3如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点.AM=AN,MN∥AC.试证明MN=AC.

分析:由MN∥AC,要证明MN=AC,可联想到四边形ACMN是平行四边形.因此连接CM,判断四边形ACMN是平行四边形即可.

解:连接CM,如图6.因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是AB中点,所以CM=AM,所以∠MAC=∠MCA.又因为AM=AN,所以∠AMN=∠N.因为MN∥AC,所以∠MAC=∠AMN.两个等腰三角形中,底角相等,则顶角也相等.故∠NAM=∠CMA,所以AN∥MC.所以四边形ACMN是平行四边形,则MN=AC.

点评:对等腰△AMN和等腰△MAC,各角对应相等,还有公共边AM,故它们全等.由此也可证得结论.

四､构造平行四边形,证明线段垂直

例4在ABCD中,∠A=60°,E､F分别是AB､CD的中点,且AB=2AD.试证明BD⊥EF.

分析:可通过连接DE､BF,构造菱形DEBF,再结合菱形性质来解决.

解:如图7,连接DE､BF.因为AD=AB=AE,∠A=60°,所以△ADE是等边三角形,所以AD=DE=EB.又DFBE,所以四边形DEBF是菱形,所以BD⊥EF.

点评:也可自B点作BM⊥AD于M,则易知AM=AB,故BM与BD重合,所以AD⊥BD,从而推出结论.

通过上面几道例题可以看到,有些复杂的几何问题,若直接求解比较困难,可尝试添加合适的辅助线,构造平行四边形,这样常常可以找到简洁方法,使问题获解.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文