盘点“平面几何”

丁广林

《平面图形及其位置关系》一章中重要的内容是基本几何图形的特征和性质、两直线的位置关系及其特殊情况的研究，这部分内容是进一步学习的基础，是中考和竞赛所涉及的重要几何内容之一.

一、利用直线的基本性质及有关概念作图.

例1种7棵树，使其中的3棵树在一条直线上，共排成6行（每一行只有3棵树），请你画图表示出种树的位置.

解析：把7棵树看成7个点，每行看成一条直线，按照题目的要求，每一行有且只有3个点，显然每个点至少为两条直线的交点（而两条直线相交有且只有一个交点），因为要求结果有6行，所以如果有的点是3条直线的交点，则这样的点必有偶数个.因此种树的方法可按图1设计.

例2平面内有10条直线，无任何3条直线交于一点，要使它们出现31个交点，应怎样安排？

解析：10条直线若都相交，无任何3条直线交于一点，有45个交点.而题目要求有31个交点，所以其中必有一些直线是平行的.具体设计如图2.

二、根据所给的条件找规律，数基本几何元素的个数，培养分类意识.

例3平面内有10条直线两两相交，最多有几个交点？

解析：探究如表1.

故10条直线最多有45个交点，得出规律为n条直线的最多交点个数是：1＋2＋3＋…＋（n－1） =个.

三、 钟面角.钟面角是竞赛、中考常见的考点之一，时针与分针之间的夹角，可以看成是分针与时针追击所形成的，因此求钟面角也就转化为行程问题中的追击问题.

例4当时间是2时32分时，分针与时针之间的夹角是多少？

解析：时针每小时转1大格，即30°，所以每分钟转0.5°，而分针每分钟转6°.当时针指向整点时，分针指向12，因此我们以指向12点作为角的始边.在2时32分时，时针与12时构成的角是2 × 30°＋32 × 0.5° = 76°， 分针与12时构成的角是32 × 6° = 192°，即2时32分时，分针与时针之间的夹角是192°－76° = 116°.

当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角度.

如果用m表示时钟数，用n表示分钟数，即m点n分时，钟面角的计算公式是：

（1） 当时针在分针的前面时，钟面角 = （30m＋0.5n－6n）°.

（2） 当时针在分针的后面时，钟面角 = （6n－30m－0.5）°n.

四、利用转化的思想将立体图形的有关问题转化为平面图形来研究.

例5如图3，有一正方体盒子，在盒子的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么样的路径爬行才能在最短的时间内捕捉到苍蝇？

解析：蜘蛛所走的路径有无数条，时间也各不相同，实际上本题是求从点A到点C的最短路径.由于蜘蛛只能在盒面上爬行，所以我们可以考虑把盒面展开，使包含A与C的两个盒面在同一个平面内.图4所示就是其中的一种，根据两点之间线段最短，只要连接AC即可.

线段AC就是所求的最短路径.

五、拼图.运用基本几何图形拼出符合条件的几何图形.

例6用一副三角板究竟能画出多少个角度不同的角？这些角有没有共同的特征？如果有，请说出理由.

解析：本题实际就是运用三角板的角拼图.一副三角板有30°、45°、60°和90°的角，所以利用三角板很容易画出30°、45°、60°和90°的角.利用角的和与差，还可以画出15°、75°、105°、135°、150°的角，也就是说，用一副三角板可以画出无穷多个角.

其共同的特征是：这些角的度数都是15的倍数.设这些角可以由30°、45°分别重复画m次和n次（其中m、n都是整数）合并而成，列出算式30m + 45n = α，即α = 15（2m + 3n），所以α总是15的倍数.

六、易混概念之间的辨析.

课程标准虽然强调淡化概念，但判断、填空、选择这些考题中，就是考大家对概念的理解.不能对易混的概念加以区分，就无法做题.

例7判断：一条直线就是一个平角，一条射线就是一个周角.

辨析：平角、周角是角，角有顶点、两条边、内部、外部，而直线、射线不存在这些.

平角与直线，周角与射线仅仅是图形相似，不是相同的概念.

七、综合利用所学的几何知识进行方案设计.

例8如图5，A、B、C、D为4个不在同一条直线上的村庄，现在政府要建一个中转站P，向4个村庄铺设天然气管道，中转站P建在哪个位置最节省管道？

解析：要想节省管道，就要使中转站P到4个村庄的距离之和最短.根据两点之间线段最短，中转站P既要在线段AC上，也要在线段BD上.因此线段AC与线段BD的交点就是所求作的点P.

八、综合利用所学的知识解决实际生活中的问题.

例9有三根木棒摆到地面上，若按它们所在直线交点个数的不同来摆放，有几种方法？试画图说明.

解析：此题实际上是求平面内三条直线的交点个数是多少.如图6，这个问题可以分成4种情况讨论：（1）三条直线互相平行；（2）一条直线与两条平行线相交；（3）三条直线过同一点；（4）三条直线交于三点.

例10如图7，在公路l上有两个城市A、B，公路外有一个村庄P.现要在公路上修建一个货运站Q运输农产品，要使货运站Q到两个城市和村庄的路程之和最短，Q应在何处？

解析：过点P作PQ⊥AB，垂足为Q.由两点之间线段最短及点到直线的连线中垂线段最短可知，PQ＋AQ＋BQ最短，所以货运站应建在图7中Q点.

例11建筑工人在砌墙时，为了保证墙面与地面（水平面）垂直，只要保证墙角的棱与地面垂直就行了，你能说明这个道理吗？观察一下工人师傅是怎样保证墙角的棱与地面垂直的.

解析：一条直线与一组平行线中的一条垂直，它就与这组平行线中的任意一条都垂直.

工人师傅为了保证墙角的棱与地面垂直，常采用重物吊线的方法来检查.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文