例谈高考试题中的“焦点四边形”的最值问题

苏立标

如果圆锥曲线的内接四边形的对角线经过圆锥曲线的焦点，我们把这样的四边形叫做焦点四边形.圆锥曲线的焦点四边形与焦点三角形有许多相似的性质，焦点四边形中的最值问题在近几年的高考试题及全国各地的模拟试题中频频亮相，值得关注，这类问题往往把考查圆锥曲线的性质与求最值问题结合起来，形成一个知识与能力的交汇点，是考查学生综合应用知识能力的良好载体，倍受命题者所推崇，成为一道新的亮点.本文试图通过例析高考试题进行分类归纳其常见的类型，以供高考复习时参考.

一、只有一条对角线过焦点的“焦点四边形”

例1 (2005年全国高考数学试题)P、Q、M、N四点都在椭圆x2+y22=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知㏄F哂氇〧Q吖蚕撸㎝F哂氇〧N吖蚕撸且㏄F•㎝F=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

解：由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，且MN⊥PQ，所以MN和PQ中至少有一个斜率存在，不妨设PQ的斜率为k，则PQ的方程为y=kx+1，代入椭圆方程得

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