勾股定理应用中的数学思想方法

陈德前

勾股定理是初中数学中的一个重要定理，灵活运用数学思想方法与勾股定理可使解题准确、迅速。

一、 分类思想

例1若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x的可能值为（）。

A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个

解析本题没有说明4和x哪一个是斜边，故应分两种情况讨论：若4为斜边，则x为直角边，由勾股定理可得一值；若x为斜边，由勾股定理可得另一值。因此x的值有两个，答案选B。

二、 方程思想

例2在Rt△ABC中，两直角边之比为3∶4，斜边为30cm，求此直角三角形斜边上的高。

解析已知两直角边之比为3：4，可设两直角边为3x和4x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再求斜边上的高就容易了。

设两直角边为3x和4x，利用勾股定理可得方程：（3x）２＋（4x）２＝30２，求出x的正值为x＝6。所以两直角边三、 数形结合思想

例3 如图1(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的边长分别为a和b，斜边长为c。图1(2)是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。请解答以下问题。

(1) 画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；

(2)用这个图形证明勾股定理；

(3)假设图1(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图1(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼图后的示意图(无需证明)。

解析本题考查运用图形来说明代数等式（勾股定理）的能力，是数形结合思想的典型体现。

a2+b2=c2；(3)能拼出证明勾股定理的图形，如图3。

四、 转化思想

例4△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若∠Ｃ=90°，如图4(1)，根据勾股定理，则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如图4(2)和图4(3)，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。

解析可以作三角形的高，将斜三角形转化为直角三角形，再应用勾股定理来说明。

若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠Ｃ为钝角，则有a2+b2

当△ABC是锐角三角形时，证明如下：

过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图5所示，设CD为x，则有BD＝a-x。

根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2，即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，

∴a2+b2=c2+2ax。∵a>0，x>0，∴2ax>0。则a2+b2>c2。

当△ABC是钝角三角形时,证明如下：

过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D,如图6，设CD为x，则有BD2=a2-x2。

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2，即a2+b2+2bx=c2。

∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2