数学教学中的几种数学思想

李秋燕

所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学知识、方法、规律的本质认识,是数学思维的结晶和概括,是解决数学问题的灵魂和根本策略。常用的数学思想主要有以下几种:

1. 函数与方程思想

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程或不等式来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。

2. 数形结合

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

3. 分类讨论思想

有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明。分类讨论正是这一种思想,也是一种重要的数学思想方法,它将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到最终解决整个问题的目的。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:

(1) 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

(2) 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。

(3) 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

4. 归纳推理思想

由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。

5. 转化思想

转化思想是将一种思维形式转变成另一种思维形式的数学思想。转化思想具有化困难为容易、化复杂为简单、化抽象为直观、化生疏为熟悉、化未知为已知的作用,它是最常见的一种思想方法。在教学中,教师应时刻把隐含于数学知识之中的转化思想充分揭示出来,并利用各种教学手段加以渗透,使学生在解决问题的过程中理解和掌握新知识,提高学生发散思维,培养创造力。

通过转化思想方法的强化训练,能使学生的发散思维激情燃烧,种种奇思妙想应运而生,促进了学生的思维品质向科学的思维方式发展。

数学习题浩瀚无边,问题又可变式发散,这样习题就林林总总,题量就千千万万,但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的,它是数学的精髓,是解决问题的有效手段,是制胜的法宝。

(唐山丰南区农业技术高级中学)