数学思维中的哲学思想

黄国安,林汉燕

摘要:数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的一门学科,高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性是这门学科的特点。翻开数学的发展史,我们还发现数学的理性思维中蕴含了极其深刻的哲学思想。

关键词:数学思维;实践;辩证法;哲学思想

中图分类号:G40-02文献标志码:A 文章编号:1002—2589(2009)14—0159—02

一、数学来源于实践

数学的外在表现,或多或少与人的智力活动相关,因此有人认为数学是“人的精神的自由创造”。实际上数学是来源于实践的学科,数学的发展是为了实际的需要。从我国殷代的甲骨文中可以看到,我们的祖先为适应农业的实际需要,将“天干”“地支”配成六十甲子来记年月日,几千年的历史说明这种日历的计算方法是有效的;古代的巴比伦人用于商业和债务的计算就有了乘法表和倒数表,积累了许多属于初等代数范畴的资料;在埃及,由于尼罗河泛滥后重新测量土地的需要,积累了大量计算面积的几何知识;后来随着社会生产的需要,特别是为适应农业耕种与航海技术的需要而产生的天文测量,逐渐形成了初等数学,其中包含了当前我们在中学里学到的大部份数学知识;由于蒸汽机等机械的发明而引起的工业革命以及大量力学问题的出现,需要对运动特别是变速运动做更精细的研究,促使了微积分在长期的酝酿后应运而生;二十世纪以来近代科学技术的飞速发展促使数学进入一个空前繁荣时期,这个时期数学出现了许多新的分支:计算数学、信息论、控制论、分形几何等等。总之,实际的需要是数学发展的最根本的推动力。

数学的抽象性也往往使人误解数学的公理、公设、定理仅仅是数学家思维的产物,其实不然。就最早以公理化体系面世的欧几里德几何来说,是实际事物的几何直观和实践中人们发现的现象,尽管不符合数学家公理化体系的程式,却仍包含着数学理论的核心。当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他的头脑中也一定联系到几何作图和直观现象。一个人,即使是很有天赋的数学家,要想在数学的研究中得到具有科学价值的成果,除了他接受过严格的数学思维训练外,在数学理论研究的过程中,他必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的引导。所以,脱离了实践,数学就会成为无源之水、无本之木。

数学的研究是不能仅满足于现实的数量关系和空间形式的,它还努力探索一切可能的数量关系和空间形式。在古希腊时期,数学家就超越了在现实有限尺度、精度内度量线段的方法,觉察到了无公度量线段的存在,即无理数的存在,这其实是数学中最困难的概念之一——连续性、无限性的问题。直到两千年以后,同样的问题导致了极限理论的深入研究,大大推动了数学的发展。如果没有实数的概念,我们无法度量正方形对角线的长度,也不会解一元二次方程,极限理论与微积分学更不可能建立。即使人们可以像牛顿那样应用微积分,但是在判断结论的真实性时会感到无所适从。在这种情况下,科学技术能走多远?在欧几里德几何产生时,人们就对其中一个公设的独立性产生怀疑,到十九世纪上半叶,数学家改变这个公设,得到了另一种可能的几何——非欧几里德几何。

现实世界似乎没有这种几何的容身之地,因为这种几何得出的结论从“常理”来说是非常“荒唐”的。例如,“三角形的面积不会超过某个正数”。但是过了近一百年,在爱因斯坦发现的相对论中,非欧几里德几何却是最适合的几何。再如,二十世纪三十年代哥德尔得到了数学结论不可判别性的结果,其中的某些概念非常抽象,近几十年却在算法语言的分析中找到了应用。所以,许多数学在一些领域或一些问题的应用,是这些理论当初的创始者做梦也想不到的。所有这一切说明,一旦实践推动了数学,数学本身就会不可避免地获得了一种动力,使之有可能超越直接应用的界限,而数学的这种发展,最终也会回到实践中去。

二、数学思维充满了辩证法

就数学的内容来说,数学思维充满了辩证法。在初等数学发展时期,占统治地位的是形而上学。在该时期的数学家或其它科学家看来,世界由僵硬的、不变的东西组成。与此相适应,那时数学研究的是常量。而笛卡尔的变数是数学中的转折点,他把数学中两个完全不同的领域——几何和代数结合起来,建立了解析几何。这个框架具备了表现运动和变化的特性,辩证法因此进入了数学。在此后不久产生的微积分抛弃了把初等数学的结论作为真理的观点,常常作出相反的判断,提出一些在初等数学的代表人物看来完全不可理解的命题。数学走到这样一个领域,在那里即使是很简单的关系,都采取了完全辩证的形式,迫使数学家们不自觉又不自愿地转变为辩证数学家。在数学研究的对象中,充满了矛盾的对立:曲线和直线,无限和有限,微分和积分,偶然和必然,无穷大和无穷小,多项式和无穷级数,等等。解决这些矛盾的思维方法是极限法。极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限法,人们可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确。极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用。

无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展.无限个数目的和不是一般的代数和,把它定义为“部分和”的极限,就是借助极限法,从有限认识无限;“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如,要求变速直线运动的瞬时速度,用初等方法是无法解决的,困难在于这时速度是变量。为此,人们先在小范围内用匀速代替变速,并求其平均速度,把瞬时速度定义为平均速度的极限,就是借助极限法,从“不变”认识“变”;曲线形与直线形有本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,正如恩格斯所说:“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得,要求曲线形的面积,只用初等的方法就不行了。刘徽用圆内接多边形逼近圆,一般地,人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积,都是借助极限法,从直线形认识曲线形;量变和质变既有区别又有联系,两者之间有着辩证关系。量变能引起质变,质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一,在数学研究工作中起重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变。但是,不断地让边数加倍,经过无限过程之后,多边形就“变”成圆,多边形面积变转化为圆面积.这就是借助极限法从量变认识质变;近似与准确是对立统一关系,两者在一定条件下也可相互转化,这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”,依次是相应的无穷级数和、瞬时速度、圆面积的近似值,取极限后就可得到相应的准确值。这都是借助极限法,从近似认识准确。

由于数学的严密性,很少有人怀疑数学结论的正确性,而把它们当作真理的一种典范。数学真的是万古不变的真理吗?数学结论的真理性也是相对的,即使象1+1=2这样简单的公式也有不成立的地方。例如在布尔代数中,1+1=0,而布尔代数在电子线路中有广泛的应用;欧几里德几何在我们的日常生活中总是正确的,但在研究天体运动某些问题或速度很快的粒子运动时却不适用。把数学的严密性和公理化体系看作是一种教条是错的。数学的公理化体系从来也不是不容怀疑、不容变化的“绝对真理”。就如欧几里德的几何体系从一开始就有人怀疑第五公设不是独立性的。两千多年来人们一直在寻找答案,终于在十九世纪发现了非欧几何。虽然人们长时期受到欧几里德几何的束缚,但是最终人们还是接受非欧几里德几何。如果历史上某些数学家多一点敢于向旧体系挑战的革新精神,非欧几里德几何也许还可能早几百年出现。

数学是多样化的,它研究的范围随着新问题的出现而不断扩大。同一切科学一样,如果死守着前辈的思想方法结论不放,数学就不会进步。在一个学科领域内,当有关的知识积累到一定的程度后,理论就会要求把一堆看来散乱的结果以某种体系的形式表现出来。这就需要对已有的事实再认识、再审视、再思索,创造新概念、新方法,尽可能地使理论能包括最一般、最新发现的规律。这是一个艰苦的理论创新过程。数学公理化也一样,它表示数学理论已经发展到了一个成熟的阶段,但并不是认识一劳永逸的终结,现有的认识可能被今后更多更深刻的认识所代替,现有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事实的公理提议所代替。数学就是在不断地更新过程中得到发展。

参考文献:

[1]马忠林.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996.

[2]马忠林主编,张永春编著.数学课程论[M].南宁:广西教育出版社,1996.

[3]教育部人事司组编.高等教育学[M].北京:高等教育出版社,1999.

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