谈《概率论与数理统计》的教学

吴博峰

摘要教学目标明确，知识内容技巧性的展现，是良好教学效果不可或缺的两个条件。本文提出“以人为本，以用为准”教学理念，并通过概率论教学实例阐述本文观点。

关键词应用 实践 兴趣 构建 思维

笔者认为，教师在教学观上应坚持以人为本的原则。以人为本的教学观是将学生作为整个教学活动的核心，充分考虑学生的个性需求、情感接受、求知欲望以及对已有的知识的掌握情况等各方面因素，尊重教学规律和认知规律，以直接讲授、情境启发、实例分析等教学方法，将传统板书教学、多媒体教学与实验探索求证相结合，培养学生自主学习能力和知识应用能力，以最终达到促进主体发展的教学目的。同时教师在教学内容上坚持以应用为准则，重视构建理论知识与生活经验之间的桥梁，使学生有更多的机会从周围熟悉的事件中学习和理解知识的现实意义，培养学以致用的能力。当代著名数学家、教育学家、沃尔夫奖获得者H.惠特尼(Whitney,Hasselr)曾指出：“学数学意味着什么？当然是希望能用它，……最好的学习就是用，并且古今皆知仅在你有自己的想法时才有真正的学习。”著名数学教育家H.弗洛登塔尔(Freudenthel,Hans)指出：“数学源于现实，并且用于现实。”所以，读书的实质是将人类已有的智慧结晶内化为自身理解的同时物化于实践中，因此，应用是目的，也是学习的最根本动力因素。

笔者多次执教大学数学基础课程中的《概率论与数理统计》，就结合自身对这门课程的教学经验谈谈本文提出的“以人为本，以用为准”理念的心得体会。笔者认为，书本的理论知识对学生而言是间接经验，生活认识才是直接经验，逻辑严谨的理论知识与学生感性的生活认识有着难以跨跃的鸿沟。因此，要上好这门课，首先应以生活实例和学生熟悉的情境入手，建立数学模型，并借用概率统计知识和分析方法去理性地认识生活，缩短学生认知结构中理论知识与客观实践的距离，消除学生对概率统计的陌生感。所以概率统计教学要以一定的感性认识为基础。只有在这个基础上，学生才能比较容易地将来自书本的间接经验与生活中的直接经验连接贯通，接受、认可教师的课堂讲授。笔者在教材内容讲解中特别注意以下几个环节：

一、介绍新的知识理论时，追本求源，让学生了解和感受知识的原始创新

课程内容要能引起学生的兴趣,要能引人入胜,首先教师要对这门学科的发生和发展的来龙去脉及其对人类社会的功用与影响有着深刻的了解，然后再组织好教学内容，使学生领会其基本线索、概念、原理、规律及其独特的研究方法。笔者上《概率论与数理统计》这门课程时，结合自己的理解，以故事的形式讲述概率论起源于法国中世纪的一场赌博纠纷的历史，吸引学生的兴趣，然后提出不同立场的各种意见，鼓励学生思考辨明，引导学生分析问题的实质，最终确定最合理的方案。当时中世纪的几个数学家，帕斯卡、费马、惠更斯等人就是在这个问题上达成了这个共识，由惠更斯发表了第一篇完整的概率论著作《论机会游戏的计算》，由此开始了将随机性问题作为一门严谨的理论科学而加以研究的学习领域, 最终现在，《概率论与数理统计》已经作为一门完整的学科并广泛应用在生活、生产的各个方面。以问题再现的方式，让学生感受真实情境的困扰，体验前人的原始创新，不仅能够激发学生的学习兴趣，而且培养了学生的应用意识，这样一来学生就不会再把概率当作突如其来的“空降”知识，而是将它理解成为我们探索、解决各种问题的科学工具，在学习过程中摒弃死记硬背，树立研究精神，端正学习态度。

二、对概念、公式、定理的讲解配合通俗举例，让学生发自内心接受

概念、定义，是学习新知识的第一道门槛。数学中的概念、定义都是在理论和实践的千锤百炼中形成的，通常比较简练和抽象，它对应着生活中的某种成熟认识。教师应引导学生体会概念、定义产生的可能性和必要性，感受其产生给思考和解决问题带来的思维上的方便和清晰，然后适时将概念的内容加以应用，通过通俗易懂的例子让学生发现它抽象外表下的简单实用。以条件概率为例，学生常觉得困惑，条件概率和普通概率有什么区别？其实条件概率表示的是范围被约束的一类事件的概率，比如“甲厂的合格率”、“患肺癌的人中吸烟的概率”“担任班委中男生的比例”等都属于受到范围被约束的概率，“产品的合格率”、“男生的比例”等属于普通概率。引入条件概率的定义就可以很清楚地区分两者的差别，使问题的解决显得更便捷。如此一来，学生就明白了概念、定义都是用于解释描述直接或间接认识到的现象时所作出的智力构建，它的实际用途是很明显的。这样，学生就能比较容易被概念的魅力所吸引，从而认可并尝试熟悉应用它。

三、讲解课堂例题时，拓展外延

数学的例题、练习非常多，但题目都是针对定义、定理、公式等展开的验证或解释，做题的目的就是培养熟练计算以及理解运用的能力。有一部分习题是纯粹的复杂计算、逻辑推导，显得很单调、枯燥，学生通常也很排斥厌倦，教师有时候可以根据习题内容适当地构建一些意境，让学生明白解决实际问题除了需要灵活的思维能力还必须具备扎实的计算基础。比如一道很普通的二维随机变量均匀分布类型的题目：随机变量X、Y服从[0，60]均匀分布，求P(X+10≤Y≤X+15) ,运用二重积分即可计算出，但引导启发学生时不妨引申个生活假设：甲、乙两人约下午一点钟到两点钟间会面，甲先到等乙10分钟，乙先到等甲15分钟，他们在一点到两点的任何时刻都可能出现，问他们能够会面的概率。学生的生活经验很容易理解这种生活情境，面对这样的问题就会积极进行思考，这时教师再逐步启发学生运用随机变量来构建数学模型，确定变量间的关系表达式，然后利用数学计算方法得出结论，大部分学生就不会觉得纯数学计算解题的枯燥生涩，同时激发起对知识内容和计算方法的求知欲望，而尖子生们也能够感受到从理论指导到实践应用的途径和技巧，对于他们创新思维能力的培养也有帮助。这种简单的联系教学，在笔者看来很有意义。学习一门自然科学，它的意义并非在于一定要能解决很大的问题，而在于能将这门科学的思维、理念融入自身的认知系统，有所感悟，有所触进。数学应该成为所有学习者能用来解释生活现象、解决社会问题的理性科学，所以教师在讲解例题时，应尽可能地联系生活实际，尽可能地选择简单易懂的日常事例，让学生认识到社会生活本质抽象出来就是数学的问题，运用数学思维方法能清晰有效地认识社会现象，从而达到培养学生数学思维能力的目的。

四、注重思维方法传授，培养学生的应用意识

教学中应该让学生拥有自学的能力和兴趣，不仅只是把知识灌输给学生，而是要教会他们用这种思想方法去分析、解决具体的实际问题。例如在讲到随机变量的数学期望时，这是一个很抽象的概念，它的理论意义表示随机变量的概率平均值，但如果将其用来分析生活生产实践，将会发现它的用途与我们的联系非常的紧密。笔者曾将其设计为一个项目投资的数学模型。项目是否值得投资，关键是考察其回报，但回报是发生在投资进行之后的结果，因此在投资之前，考察这个回报时只能称作预期回报。理性的人们总是希望相同数量的投资能获得最大的预期回报，而这个预期回报实质就是数学期望，它等于这个项目投资的各种可能的获利结果的概率平均值。运用这一知识理论，同学们就可以判断一个项目是否值得投资或者在几个投资项目中确定最有利的选择，拿生活中一个很常见的投资行为----购买体育彩票“36选7”是否选择复式投注为例说明。按游戏规则，16元可以购买7注单式彩票（7个号码）或者1注复式彩票（8个号码），假设特等奖、一等奖、二等奖......六等奖的奖金金额是固定的，将投资16元所能得到的回报看作随机变量X，我们只要计算这两种购买方式的各种结果的概率，则它的期望回报E(X)就可以按数学期望的计算公式确定。当然，事实上特等奖、一等奖等奖金金额是浮动的，因此学生们需要从体彩站、网络等渠道获取信息，用点估计的方法求解出这两个奖项奖金金额的一个估计量，从而比较两种投资方式的期望回报，选择理性的投资方式。客观真实、意义积极、难度适中的课题设计可以培养学生敏锐的洞察能力和系统分析能力，对信息收集分析能力，激发学生强烈的求知欲望以及运用理论指导实践的创新思维。

以上几点是笔者在确立 “以人为本、以用为准” 为自身教学理念时的尝试，以应用为准则侧重对具体知识教学的理解，培养学生学习的兴趣与热情，是学生能够自主学习自我完善的前提；以人为本侧重教学教法，通过以知识为载体的学习，培养学生的思维能力、实践操作能力、创新能力，在学习中形象良好性格、优良品德。笔者仍然在这理念下不断探寻师与生的沟通、教与学的衔接、知识与实践的融合，希望能为高校教育提供一个比较优的教学模式。

参考文献（略）