会当凌绝顶 一览众山小—幂函数的图像与性质（二）白板教学案例

曹 远

南京田家炳高级中学 江苏南京 210037

会当凌绝顶 一览众山小—幂函数的图像与性质（二）白板教学案例

曹 远

南京田家炳高级中学 江苏南京 210037

教材：高中数学苏教版 必修一

章节：第二章 第4节

课题：幂函数的图像与性质（二）

教材分析：

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是任意幂函数的图像和性质，难点是利用任意幂函数的图像和性质，解决实际问题。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数组织学生画出他们的图像，根据图像观察、总结幂函数16字口诀。

学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为研究幂函数的性质做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入常见幂函数之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

一、教学目标

1.基础知识目标

(1)了解幂函数的概念，利用口诀，会画幂函数的图像。

(2)根据幂函数的图像，掌握幂函数图像的变化情况和性质。

(3)掌握几个常见幂函数的性质，能灵活利用其性质解决数学问题。

2.能力训练目标

(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

(2)使学生进一步体会数形结合的思想。

3.情感态度与价值观

利用计算机，了解幂函数图像的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

二、重点、难点

重点：任意幂函数的图像和性质。

难点：利用任意幂函数的图像和性质，解决实际问题。

学情分析：本班学生的现状因素：高中学生的录取分数就决定了其基础知识和基本技能的水平。我校是四星级高中，近几年由于生源萎缩，学校都是通过调剂或降分完成每年的招生计划，进校的大部分学生基础都不好，而我所任教的是普通班，对数学学习的要求较高。这一矛盾的尖锐点是学生数学知识储备量严重不足；从数学学习的角度看，数学认知结构中缺少与新知识相关的旧知识，直接影响其后继知识学习上的记忆能力、理解能力和思维能力，导致机械学习；从数学教学角度讲，后续教育在认知结构缺乏相应的知识储备的影响下，丧失了应有的成效，这也许就是高中生数学学习困难最主要的原因。因此，如果我们在幂函数教学中，一味追求理论深度，反复强调细枝末节，这无疑是扼杀学生学习数学的兴趣，也不能让学生死记硬背常见函数的图像及性质，遇到类似问题生搬硬套，激化教学双方矛盾，因此本节课可以利用“十六字口诀”，化难为简，轻松掌握。

三、教学活动

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幂函数y=xαα>1举例：y=x3, y=x2图像在第一象限图像趋势较陡（竖）0<α<1举例：y=x1/2, y=x1/3图像在第一象限图像趋势较缓（横）活动（三）教师在设计好的表格中，按顺序点击具有代表特征的函数解析式，在每个单元格阴影后，对应着相应的函数图像幂函数y=xαα=q/p(p、q互质)当p为偶数时举例：y=x1/2, y=x-1/2图像图像无论是抛物线型的还是双曲线型的，都只有一支。当p为奇数时举例：y=x3, y=x-2，y=x-1图像，它们无论是抛物线型的还是双曲线型的，都是完整的。活动（四）幂函数y=xα学生观察，分别有什么特征，如果不容易发现，可提示根据y=xα中α的正负，判断曲线类型，并总结出当α>0 图像呈抛物线型，恒过（0，0）（1，1）两点。α<0 图像呈双曲线型，恒过（1，1），不过（0，0）。学生观察，分别有什么特征，如果不容易发现，可提示根据y=xα中α与1的大小比较,总结出:当α>1 时随着x的增大,图像越来越陡;当0<α<1 随着x的增大,图像越来越缓学生们观察，它们与分母p之间的关系，总结出: p为偶数时，图像不完整，只有一支；p为奇数时，图像是完整的。学生们观察，它们与分子q之间的关系，总结出:通过观察图像，总结出α与函数图像趋势的关系，用四个字概括“大竖小横”教师通过笔的点击，分别将α >1 ,0<α<1的几个幂函数图像以淡入的方式呈现在学生眼前，不同的色彩，不同的特征。通过观察图像，总结出α =q/p(p、q互质)中分母p与函数图像的关系，用四个字概括“偶一奇全”教师通过单元格阴影的操作，重新展现一组图像，分别将p为偶数与奇数时的几个幂函数图像呈现在学生眼前， 让他们在充满疑问中体验数学那令人不断探索、值得寻味的快乐。通过观察图像，总结出α =q/p(p、q互质)中分子q与函数奇偶性的关系，用四个字概括“奇奇偶偶”教师通过单元格阴影的操作，再次展现一组图像，分别将q为偶数与奇数时的几个幂函数图像呈现在学生眼前， 并利用魔术笔画矩形框，进行局部放大，直观体验。通过刚才一系列的观察、归纳我们得出了口诀，这样我们已知任意幂函数解析式，都可以画出它们的草图，并很快地确定它们的定义域、值域、单调

α=q/p(p、q互质)当q为偶数时举例：y=x2, y=x-2图像，图像无论是抛物线型的还是双曲线型的，一定关于y轴对称，为偶函数。当q为奇数时列举：y=x3, y=x-1图像，图像无论是抛物线型的还是双曲线型的，一定关于原点对称，为奇函数。巩固练习完成表（二）填空：1、设α∈{-1，1，3，1/2 }，则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α的值的集合为q为偶数时，图像关于y轴对称，为偶函数。；q为奇数时，图像关于原点对称，为奇函数。通过观察图像，总结出α=q/p(p、q互质)中分子q与函数奇偶性的关系，用四个字概括“奇奇偶偶”教师可以根据实际情况进行双页显示，进行十六字小结：正抛负双，大竖小横，偶一奇全，奇奇偶偶。请同学们动笔练习，选1～2位同学上白板来完成。请同学们动笔练习。再请学生口答并进行简要分析，教师手写答案。性、奇偶性。由理论到实践，让学生掌握画幂函数草图的技巧，并能准确写出其定义域、值域、单调性、奇偶性。让学生利用口诀，解题应用，使他们体会到“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉。学生用笔在白板上直接作图、并写出其性质，教师可以用不同颜色的笔进行批改，及时纠正，强调要点。学生用笔在白板上直接作答，教师及时评价纠正，节省时间与空间。2、函数f(x)=(m 2 +3m+)x 1 m+m1 2−是幂函数，且其图像过原点，则m= 3、设α∈{-2，-1，0，1，2，3，1/2 }，则使函数y=xα为偶函数的所有α的值的集合为课堂小结 ：正抛负双，大竖小横，偶一奇全，奇奇偶偶。有了十六字口诀，很快就能画出图像，由图像确定函数的性质。作业布置评价手册 P61幂函数（二）

表1

表2

四、教学反思

本课采用在《新课程标准》指导下的实验探究学习过程与信息多媒体新技术的整合的教学方式。教师以初中常见的幂函数图像创设问题，激发学生内在积极性、创造性、主动性为目的。以探究作出幂函数的图像实质依据为主线，既抓住重点，又突出学生的主体地位。这样处理适合学生的认知特点，使学生对研究幂函数的性质的学习有了生长点，便于学生快速掌握。

1.教学手段

本节课是以Smart电子白板为教学平台，在课程的设计与实施过程都中用到白板的如下功能：

改变字体（粗体 下划线 斜体）

设置对象属性（颜色 线条宽度 线样式 填充动画 透明度）

锁定对象属性和位置

无限克隆选定对象

更改页面背景颜色

组合、取消组合、翻转

选择对象

选择笔、魔术笔、橡皮擦

表格、单元格阴影、屏幕遮罩等

教师在本节课中充分发挥了交互式电子白板的优势，不仅使学生能够深刻理解所学知识，还能够灵活运用，举一反三，而且使整个课堂都是在活跃的互动气氛中开展。白板的应用达到预期的教学效果，尤其是使用白板的色笔、魔术笔功能，进行批注、圈点、相关重点。运用这些功能一方面可以大大激发学生积极主动的学习热情，使学生思维活跃、兴趣盎然地参与教学活动，培养他们积极思考,发展思维、探索发现能力；另一方面可以把课堂教学的教师以教为主变成学生以学为主，从而提高教学质量，优化教学过程，增强教学效果。鲜艳的色彩、多变的图像，有利于刺激学生的多种感官，创设各种教学情境，唤起学生的情感活动，促使他们发挥学习主动性与积极性。把交互式电子白板技术融入到高中数学学科教学中去，就像使用黑板、粉笔、纸和笔一样自然、流畅，使原本抽象的数学知识形象化、生活化，使学生不仅掌握数学知识，而且喜欢这门学科。运用交互式电子白板教学可以取得传统教学无法取得的一些效果。

(1)保存板书，节省时间、空间

整个教学中，教师根据实际情况，随时对所实施的内容进行批注、讲解。改变了以往的教学完成后，不能在黑板上保存的弊端。这样既省时，也不会引起学生的厌烦情绪，而且使已有知识再次得到巩固。而在教学的后续阶段，教师只需将它调出进行反思研究，无需回忆，方便省力。

(2)整合资源、亲身体验

互动演示平台将白板和PowerPoint演示文稿整合起来，在演示文稿中制作的图形运动效果，可以通过白板展示出来。整个课堂也因此而活起来。除此之外，还可以和多种形式的文件整合，给人以鲜明直观的感受，学生也可以直接参与到教学中，起到优势互补的作用。

(3)扬长避短、提高效率

交互式电子白板具有普通黑板全部的功能，同时又具有更多普通黑板不具有的功能；同时基于交互白板的信息技术环境支持教学中对各种媒体资源灵活调用，支持所有的课堂教学行为，将以往一些由教师到学生的单向信息传输模式改变为两者之间的双向交流，加大了课堂的信息量，增强了课堂活动的交互性，提高了课堂效率。

2.教学方法

教学中，教师应用“问题—研究—归纳—应用”模式教学，展示了“数学教学是数学活动的教学”。教师是活动的组织者、指导者、协作者和调控者，学生是数学建构活动的真正主人。教师既注重知识教学，又关注思想方法教学。教师创设情境提出问题，学生围绕问题观察、思考、分析、综合、概括，应用问题解决达成对新知识的理解。教师给学生创设多种素材，学生归纳总结，思维灵活多变，有利于知识的迁移和发散性思维的培养。

教学设计不是用传统的“复习—例题—练习”模式教学，而是把问题的研究当作是一种情境，引发学生去操作、活动、讨论、反思。把例题与练习纳入问题研究的学习情境之中。摆脱原来那种讲完概念，就进入例题学习，练习巩固的孤立做法。而是应用教学原理将研究活动的过程设计成题组，让学生在数学探究中加深对幂函数图像与性质问题的理解。

本节课中心环节是幂函数的图像与性质，并用其来解决应用问题。幂函数的草图如何作出是至关重要的。课后需要继续加强训练，加深口诀的应用。让学生们在学习知识的同时，掌握数形结合的思想方法。

本节课课堂气氛热烈，一扫沉闷，改变了“教师讲、学生听”的状况，较好地体现了学生学习主体性。教师指导协作成为课堂教学的灵魂，学生成为课堂活动的积极探索者，成为活动主体。实现传统教学中，师生角色的转换。培养了学生自主合作学习的能力，绝大多数的学生都参与了知识发生与发展过程，通过总结归纳，得出 16字口诀，在教学过程中，表现出浓厚的学习兴趣，课后的反馈检测效果不错。

3．设计思想

由于幂函数的图像千姿百态，其性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中像指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图像和性质，然后通过四组幂函数的图像的比较、归类，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况，总结出16字口诀，最后再通过的课堂练习，巩固今天所学内容，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。

本节课的不足之处：由于学生初次接触白板，操作不够熟练，浪费了课堂的一些时间，今后只要多加练习，即可避免。另外，在选择练习题时可以更贴近学生的生活，还可以提出一些研究性问题让大家一起讨论，提高课堂40分钟的教学质量。

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曹远，本科，中学一级。