与圆锥曲线切线有关的几个定值问题

●(元济高级中学 浙江海盐 314300)

唯物辨证法告诉我们:运动是绝对的,静止是相对的;世上万物都是动中蕴静，动静相依的.经过研究，笔者发现这一规律在圆锥曲线的切线中也有所体现:尽管有时圆锥曲线的切线与圆锥曲线有着相对任意的动态位置，但仍会有一些视为静态的结论,譬如结果为“定值”或“过定点”等等.限于篇幅,这里仅举几个关于“定值”的例子,以飨读者.

例1过椭圆的2个焦点引椭圆任一切线的2条垂线，则这2条垂线长的积为定值.

又设2个焦点的坐标为(c,0)，(-c,0),则焦点到切线的垂线长的积为

图1

证明由于椭圆过直径端点的切线平行于它的共轭直径,因此过2条共轭直径的端点引椭圆的切线所围成的平行四边形相邻的2条边长分别为共轭直径长.

设2条直径的交角为φ=β-α,则

sinφ=sinβcosα-cosβsinα=

故该平行四边形面积为

例3过椭圆上任意一点M所作的切线，与过这椭圆长轴端点A,A′的2条切线分别交于点N,N′，则AN·A′N′为定值.

过椭圆长轴端点A，A′的2条切线方程为

式(1)，式(2)消去x,得

(3)

而长轴端点处的2条切线x2-a2=0都与x轴垂直,因此AN,A′N′的积即为方程(3)的2个根之积,于是

图2

例4过双曲线上任意一点P的切线与2条渐近线交于点A,B，则双曲线中心O与A,B所成三角形的面积为定值.

解得

S△OAB=S△AOM+S△OBM=

例5过抛物线y=x2上的任意一点P(原点除外)引切线l和x轴,y轴分别交于点Q,R，则|PR|∶|PQ|是定值.

图3

图4

整理得

故点M(0，pt)到圆的切线长的平方为

即切线长|MT|为定值.