二次函数的另类最值求法及其引申

●(戴南中学 江苏兴化 225721)

二次函数在一区间上的最值问题是各类考试的重点、热点内容，频繁出现在试题中.其解决方法主要是分类讨论，学生已经基本掌握，但另有2种情况的最值问题需要引起注意，不能生搬硬套，否则会陷入复杂的计算中.只要掌握这类题型的解决方法,便会产生事半功倍的效果.

例1已知f(x)=x2+ax+3,x∈[-1,2],求f(x)的最大值.

分析f(x)=x2+ax+3,x∈[-1,2],对应的图像是开口向上的抛物线的一部分,离抛物线的对称轴越远,函数值越大.

[f(x)]max=f(-1)=2-a;

[f(x)]max=f(2)=8+2a.

引申1t为常数，函数f(x)=|x2-2x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，求t的值.

解法1由函数g(x)=x2-2x-t的对称轴是x=1，且g(0)=g(2)=-t，可得f(0)=f(2).经分析可知，f(x)在区间[0，3]上的最大值是f(1)或f(3).

若f(1)≥f(3),则

|-1-t|≥|3-t|，

即当t≥1时,|-1-t|=2,解得t=1;

若f(3)≥f(1),则

|3-t|≥|-1-t|，

即当t≤1时,|3-t|=2,解得t=1.

综上所述,t=1.

解法2令u=x2-2x,x∈[0，3],则u∈[-1，3].考查y=|u-t|,u∈[-1，3]的图像可知:函数的最大值只能在2个端点处取得，因此

解得t=1.

引申2数列{an}满足an=a2+λn,且是递增数列，求λ的取值范围.

a1

故所求λ的取值范围是λ>-3.

点评3此题因定义域的限制不能用导数求解.

有些函数虽然不是二次函数,但在一个区间上的最值也有类似的情形.

引申3求函数f(x)=lnx-ax(a>0)在[1，2]上的最小值.

解

当f(1)≤f(2),即0

[f(x)]min=f(1)=-a;

当f(2)≤f(1),即a≥ln2时，

[f(x)]min=f(2)=ln2-2a.

故

引申4f(x)=x4+ax3+2x2+b(a,b∈R).若对任意a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围.

解f(x)≤1在[-1,1]上恒成立等价于[f(x)]max≤1，x∈[-1,1].

f′(x)=x(4x2+3ax+4)，

得

Δ=9a2-64.

点评4f(x)的图像连续.若f(x)在区间[a,c]上递增，在区间[c,b]上递减，则f(x)在[a,b]上的最小值是f(a)和f(b)中的最小者.

点评5f(x)的图像连续.若f(x)在区间[a,c]上递减，在区间[c,b]上递增，则f(x)在上[a,b]的最大值是f(a)和f(b)中的最大者.