一个经典作图题派生的最值问题

●(金陵中学河西分校 江苏南京 210019)

1 引例——类比联想

例1几何模型：

条件：如图1，A，B是直线l同旁的2个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则PA+PB=A′B的值最小(不必证明)．

图1

图2

模型应用：

(1)如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，点B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于点P，则PB+PE的最小值是________.

(2)如图3，⊙O的半径为2，点A,B,C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.

(3)如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q,R分别是OA,OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

图3

图4

评注这是一道2009年福建省漳州市的数学中考试题.命题者先给出了源于教材的一个经典几何作图题，接着设计了模型应用.第(1)、(2)小题是2个铺垫问题;在解决第(3)小题时,学生已基本理解这个几何模型的本质：通过轴对称变换将几条线段转移到同一条直线上.具体方法：作点P关于OB，OA的对称点M，N，连接OM，ON，MN分别交OB，OA于点R，Q，则△PQR周长的最小值就是线段MN的长.由轴对称的性质结合题意,可知△MON为等腰直角三角形.又由OP=10,可求得MN的长.这个经典几何作图题在不同背景下派生的最值问题已成为2009年中考试题中一道亮丽的风景线．

2 范例——应用拓展

图5

(2009年陕西省数学中考试题)

得

EH=4.

又M,N分别是AD和AB上的动点，因此当点M,N分别是EH与AD,AB的交点时，BM+MN为最小，即为线段HE的长度，故BM+MN的最小值为4．

例3在平面直角坐标系中，有A(3，-2)，B(4，2)两点,现另取一点C(1，n).当n=________时，AC+BC的值最小．

(2009年湖北省孝感市数学中考试题)

简解过点C(1，n)且与y轴平行的直线为x=1，作点A(3，-2)关于直线x=1的对称点A′(-1，-2)，经过点B，A′的直线与直线x=1的交点为C，此时AC+BC的值最小.将点B，A′的坐标代入y=kx+b,并计算得

因此

评注点A,B是2个定点，且都在点C(1，n)的右侧，使AC+BC的值最小的难点是没直接给出点C所在的直线.但注意到点C的横坐标为1，知点C必在直线x=1上，从而可转化为基本问题．

例4湖北省恩施自治州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50 km，A,B到直线X的距离分别为10 km和40 km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A,B两景区运送游客．小民设计了2种方案，图6是方案1的示意图(AP与直线X垂直，垂足为点P)，点P到A,B的距离之和S1=PA+PB，图7是方案2的示意图(点A关于直线X的对称点是A′，连结BA′交直线X于点P)，点P到A,B的距离之和S2=PA+PB．

(1)求S1,S2，并比较它们的大小；

(2)请你说明S2=PA+PB的值为最小；

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图8所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30 km，请你在X和Y旁各修建一服务区P,Q，使P,A,B,Q组成的四边形的周长最小,并求出这个最小值．

(2009年湖北省恩施自治州数学中考试题)

图6

图7

简解(1)如图6,过点B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40.因为AP=10,所以AC=30.在Rt△ABC中，AB=50，AC=30，得BC=40，于是

从而

如图7，过点B作BC⊥AA′,垂足为C，则A′C=50.由BC=40，得

又由轴对称知PA=PA′，因此

故

S1>S2.

(2)如图7，在公路上任找一点M,连结MA,MB,MA′.由轴对称知MA=MA′,因此

MB+MA=MB+MA′≥A′B,

故S2=BA′为最小.

图8

图9

(3)如图9,过点A作关于x轴的对称点A′,过点B作关于y轴的对称点B′，连结A′B′,交x轴于点P,交y轴于点Q,则P,Q即为所求.过点A′,B′分别作x轴,y轴的平行线交于点G,则

评注数学源于生活.此题从一个实际问题出发探究最值问题，突出了数学的应用价值．

例5如图10，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上．

(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标.

(2)平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的2个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式.

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

(2009年浙江省舟山市数学中考试题)

图10

图11

1°若将抛物线向右平移，则显然有

A′D+CB′>AD+CB，

即不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．

评注此题是一道中考压轴题，在抛物线平移中考查利用轴对称性处理线段和的最值问题，很好地引导学生从运动变化的角度去思考数学问题，而不是把数学看成静止的，这正考查了学生的数学能力．

很多中考题的编制是课本习题的拓展和延伸，与一些经典的基本图形存在着一定的关系.教师若能认真研究课本习题，抓住基本图形的不变关系拓展延伸，进行变式应用，让学生“不经意”地解决问题，则学生从中获得的不仅是数学解题能力的提升，更是数学思维水平的提升．