二项式定理教学设计与点评

● (教育局教研室 浙江宁波 315000)● (宁波中学 浙江宁波 315000)

本节课是“2009年10月浙江省课堂教学评比与观摩活动”中浙江省宁波市选手倪蕾教师的一节参赛课(获得一等奖),笔者在此基础上，对这一堂课进行了重新设计.

1 教材分析

二项式定理是高中数学人教版A版选修2-3第一章计数原理的第3节内容．在学科教学指导意见中，本节内容分2个课时,这里仅针对第一课时内容.

二项式定理是代数乘法公式的推广，这节课的内容安排在计数原理之后进行学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用;另一方面是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处．再者,二项式定理也为学习随机变量及其分布作准备,它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙.运用二项式定理还可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题．总之,二项式定理是综合性较强、具有联系不同内容作用的知识.

2 教学目标

(1)理解二项式定理是代数中乘法公式的推广,能利用计数原理证明二项式定理,理解并掌握二项式定理;

(2)通过二项式定理的“发现”和证明，培养观察、分析、归纳、推理能力，体会从特殊到一般的思维方式;

(3)培养自主探究意思、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美.

3 教学重点、难点

重点：用计数原理分析(a+b)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

4 教学过程

4.1 提出问题，引入课题

二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理在初、高等数学中都有广泛的应用．二项式定理研究的是(a+b)n的展开式，例如：

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=

a3+3a2b+3ab2+b3;

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;

……

设计意图 沿着数学发展的逻辑,引起认知冲突,把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确这节课要解决的问题.

4.2 引导探究，发现规律

4.2.1 多项式乘法的再认识

问题1(a1+a2)(b1+b2)的展开式是什么,展开式有几项，每一项是怎样构成的？

问题2(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)展开式有几项, 每一项是怎样构成的？

设计意图 多项式乘法规律是在每个括号内任取一个字母相乘构成展开式中的每一项,引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征,同时也为后续的学习作准备.

4.2.2 展开式的再认识

探究1(先自己动脑动笔,再以4个人为一小组进行讨论.)

不展开(a+b)3，能否回答下列问题：

(1)合并同类项之前展开式有多少项？

(2)展开式中有哪些项？

(3)各项的系数为多少？

(4)从上述3个问题，你能否得出(a+b)3的展开式？

设计意图 当面临一个新问题时,往往需要用已有知识对其进行重新解释,这个过程实际上是对问题的理解过程,化未知为已知的过程.通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(a+b)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，旨在体验特殊情况下定理的形成过程,这也为推导(a+b)n的展开式作了铺垫，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

情境：从前有座山，……,3个和尚为了解决吃水问题,他们协议每人每天下山挑一担水.若下山既可以走前山，也可以走后山，前山有a条路，后山有b条路，假定他们下山的选择相互独立，问这3个和尚共有多少种不同的下山方法(限制条件:a,b∈N*)?

解法1分步考虑：因为每个和尚都有a+b种下山方法,所以3个和尚共(a+b)3种不同的下山方法.

由上述解法可得:

类似地,我们有

观察以上2个展开式的结构特征(项数、系数、指数),是否有规律可寻?

猜想:(a+b)n=？

设计意图 通过构造实际背景,对同一个问题采用2种不同的思路达到“殊途同归”的目的,用生活事实诠释数学原理,旨在提高学生对抽象的数学原理的感性认识,培养数学意识.

4.3 形成定理，说理证明

探究2(先自主学习,后合作交流)请分析(a+b)n的展开过程,证明猜想．

分析从2个方面入手:

证明略.

设计意图 通过仿照(a+b)3,(a+b)4展开式的探究方法，由学生类比得出(a+b)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的(a+b)n的展开式．

4.4 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征(由学生归纳，让学生熟悉公式)：

(1)项数：共有n+1项.

(2)次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．各项的次数和都等于n．

特别地，有:

例1求(1-2x)6的展开式的第3项,第3项的二项式系数.

解略.

设计意图 熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

4.5 课堂小结，课后作业

由学生归纳本课学习的知识及蕴涵的数学思想方法.

(1)二项式定理:

(2)思想方法:从特殊到一般、类比的数学思维方式,观察、分析、归纳、猜想、证明的数学研究方法,等价转换的思想等.

(3)课后作业

巩固型作业：课本第36页习题1.3A组1,2,3.

设计意图 (1)通过小结使学生明确本节课学习的内容;

(2)适当的作业有助于进一步巩固新知;

(3)思维拓展型作业鼓励学生探究二项式系数的性质，为后面“杨辉三角”的学习作好铺垫．

5 课例点评

5.1 教学思路清晰,学习重点突出

本节课以“提出问题，引入课题—引导探究，发现规律—形成定理，说理证明—熟悉定理，简单应用—课堂小结，课后作业”为基本教学过程,围绕“用计数原理分析(a+b)3的展开式，得到二项式定理”展开．设法使每一个知识、每一个发现由学生自己得出,教师只是在关键处加以引导,尤其是课堂上给予学生充足的思考时间和空间,让学生在自主学习的基础上再组织讨论,充分体现以学生为主体的新课程教学理念.

5.2 整合教材资源,突破理解难点

因为学生比较熟悉(a+b)2的展开式，所以以(a+b)3为对象进行探究，在探究中设置了4个小问题，引导学生用计数原理对(a+b)3的展开式进行再思考，分析各项、项的个数，这也为推导(a+b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．这种处理教材的方式有效地突破了教学难点,反映了教师的教学机智.

5.3 设问合乎情理,探究活动自然

问题是教学活动的出发点,只有通过合理、适当的设问,才能在课堂上真正实现“人人参与,积极思考”.本节课,教师十分注重提问的艺术,问题围绕“如何将二项式的展开式与‘计数原理’”联系在一起而进行,引导学生经历“提出问题—寻求方法—实施方法—发现规律—给出猜想—说理证明”这一完整的探究活动,让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的.

5.4 注重知识联系,渗透研究方法

本课的教学难点是如何将二项式的展开式与“计数原理”联系在一起.为突破这个难点,教师用(a+b)3展开作为切入口,从以下2个角度为学生“引路”:一是利用多项式乘法法则,运用“计数原理”展开(a+b)3，分析展开式中各单项式的特征;二是构造实际背景对等式

这样处理既注重了知识的内在联系,同时渗透了“从特殊到一般”研究数学问题的思维方式,培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力，也启发了学生学习数学要关注2个方面的问题:一是数学内部的问题,即如何从数学内部构建相关知识,为解决问题提供足够的、有效的工具;二是数学与现实的关系问题,即数学知识源于哪里,来自何方,又用于哪里,去向何方.