在解题中尝试评价初探

●(黄岩区第二高级中学 浙江台州 318020)

数学解题是一种复杂的思维活动，学习数学意味着解题.在数学解题中，学生更多关注的是最后答案的正确程度,而对解题过程则仅仅凭着熟能生巧的感觉去被动地把握，常常为解题而解题.这种学习方式毫无疑问影响了学生的学习效率，令其陷入了认知的误区.为此，在数学解题教学过程中,我们尝试把评价引入解题，实行一种新的学习方式，主要做法如下：

(1)设计一张作业纸，叫做《解题过程评价表》；

(2)学生自选问题，按照《解题过程评价表》中解题引导语的要求进行规范回答，然后交给教师进行评价;

(3)教师根据学生的实际回答情况，对每一个环节实施评价，并把评价及时反馈给学生;

(4)时间安排可以是每周1至2次，以学生作业的形式进行.

这种以《解题过程评价表》为载体的数学解题教学模式，意在让学生轻负担、高质量的进行解题活动，意在把解题教学引向学生对数学本质理解的深层关注.

我们认为：问题是否解决也许并不是最重要的,问题解决过程中的观察、分析、尝试、比较、联想、质疑、重建、论证、决策、实践、总结，以及考验心理在紧张慌乱中的清晰度等心理活动,还包括和数学有关的高层次思维、推理、交流等能力的发展才是关键,无论是教学还是问题解决,最核心的就是进步.

1 范例：一张解题过程评价表

根据本阶段教学进度，请精选一题，写出解题过程并填写相应内容.

教师评价本题可以多角度地解决.

认真读题，写出本题的已知条件和隐含条件：

(1)F1,F2是椭圆的左、右焦点;

教师评价基本正确，但是须理解“存在”的内涵.

你能否将本题表述得更简洁?

如果椭圆上存在一点P，它的2条焦半径所成的角为直角，求这个椭圆离心率e的范围？

教师评价不同的角度可以有不同的表达，请尝试其他的表达方式.

你认为解答这个问题的关键是什么？

可以利用焦半径公式与勾股定理.

教师评价本解法需要扎实的知识基础.

写出解答过程：设点P(x0,y0),由题意得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

因此

(a+ex0)2+(a-ex0)2=4c2,

解得

教师评价解题过程基本完善，不过请你认真思考，还有其他解法吗？

你认为本题还有别的解法吗？

可以利用数形结合来解决.

教师评价本解法很简洁，请深刻体会数形结合思想.

你认为本题能推广吗？

如果椭圆上存在一点P，它的2条焦半径所成的角为α，求这个椭圆的离心率e的范围.

教师评价很好，你会解决这个推广吗？

本题给你的启示是：一题可以多解，不同的解法有不同的收获.

教师评价数学不做题=0,做题不反思、总结=及格，反思+做题=高分.

教师的建议：做题时要多思考为什么，思路最重要，只要掌握了题目的灵魂，你就学会了解题.

2 解题过程评价表的2个关键词

2.1 解题引导语

我们把解题的过程分为以下5个环节：

一是审题.通过问题帮助学生读懂题，并且养成良好的审题习惯.帮助学生从已知条件出发，盯住结论的目标，学会从中去找方法.帮助学生思考这道题以前有没有做过，它需要求什么(直接要求的和间接要求的)，牵涉到什么定律、公式、法则、原理，有什么隐含条件？帮助学生尝试重新表达问题.

二是选定方法.通过问题促进学生思考这道题的一般思路是什么？有没有解决问题更简便的方法？

三是做题.当学生用选定的方法按照自己的思路做题、一步步推导论证时，通过问题可以帮助学生监控自己的解题过程，不放过任何一步，提高思维的严谨性.

四是总结.让学生学会回顾，回顾选择的方法是否正确？回顾“审题”的内容;回顾用到的知识和技巧，提高归纳、推演的能力.

五是反思.反思自己体会到的心得，并且记录下来，下次解题时下意识地用它们(心得).

根据以上5个环节，我们相应地设计了7个解题引导语：

(1)认真读题，写出本题的已知条件和隐含条件;

(2)你能否将本题表述得更简洁？

(3)你认为本解答的关键是什么？

(4)写出解答过程；

(5)你认为本题还有别的解法吗？

(6)你认为本题能推广吗？

(7)本题给你的启示是什么？

( )

A．-3 B．3 C．-8 D．8

思考1(1)关于f(x)的已知条件：设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数；

思考4可以找到一个特殊函数，譬如f(x)=x2，代入可求.

思考6启示：把抽象函数中函数值的关系转化为自变量的关系是关键.

解题引导语的引导作用有助于促进学生在解题活动中完成从追求结果到注重过程的转变；有助于促进学生把解题的兴趣由关心得分情况转变到注重收获.

2.2 教师评价

评价常常集中在答案的正确率上，但是解题的意义不能仅仅只是得到正确的答案.将评价融入学生解题过程的学习方式,使问题拓展开来.例如,在解决一个数学问题时，还要求学生关心他是否会表达他的解题步骤，是否会证明他的结论，是否知道相关类型的问题，或者是否会在另一个场合把该问题作为一个解题的工具.这样使一个数学问题的主干部分广义地形成一种评价情景,评价情景中的回答,是我们期待学生作出的.它有多种不同的表达方式,它依赖于学生在具体情景中对问题把握的扎实程度和对知识应用的灵活程度.

在解题中尝试评价，在解题过程评价表中引入教师评价，不只是简单地评判学生一个问题解答的正确与否，而是关注学生的数学表现.教师评价有着以下几个方面的特点：

(1)贯穿于解题过程的每一个环节，在每一个环节中要求、指导、规范着学生的解题.

(2)不但重视数学纯粹的知识,同时更重视解决数学问题的策略知识;不但评价学生解题过程中存在的问题，而且还力求暴露学生的缺点，力求养成良好的思维习惯，培养成熟的解题心理.

(3)具有可操作性.

例2已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R.

(1)设p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；

(2)略.

(2009年浙江省数学高考理科试题)

环节1认真读题，写出本题的已知条件和隐含条件.

p(x)在区间(0，3)上不单调的含义是什么？

评价要点不只是罗列条件，而是促进学生去发现问题的本质联系.

环节2你能否将本题表述得更简洁？

(1)p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1.

(2)p(x)在区间(0,3)上不单调，即p′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根.

评价要点能否把命题的要求表达得更清楚、直接？

环节3你认为本题解答的关键是什么？

(1)条件“p(x)在区间(0，3)上不单调”的含义.

(2)如何求k的取值范围？

评价要点读题，能否敏锐地感知问题的难点，反映一个学生的能力.

环节4写出解答过程.

解由p(x)=f(x)+g(x)=

x3+(k-1)x2+(k+5)x-1，

得

p′(x)=3x2+2(k-1)x+k+5.

因为p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根.由p′(x)=0得

k(2x+1)=-(3x2-2x+5),

因此

得

k∈(-5,-2].

而当k=-2时,p′(x)=0在(0,3)上有2个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈(-5,-2).

评价要点过程和结果是否准确，书写是否规范.

环节5你认为本题还有别的解法吗？

在求参变量k的过程中，可以考虑用根的分布,或者用导数法解决.

评价要点评价学生的总结、归纳能力.

环节6你认为本题能作改变吗？

变式1可以改变p(x)的定义，例如p(x)=f(x)+2g(x).

变式2可以改变条件“若p(x)在区间(0,3)上不单调”为“若p(x)在区间(0,3)上单调”.

评价要点评价学生的变式、逆向和多向思维能力.

环节7本题给你的启示是什么？

评价要点谈收获，要重体会、重感受、重反思.

学生数学解题过程中评价的实质是对解题者的整个思维过程起定向、控制和调节作用.在数学解题教学中引入评价将有助于学生变盲目的、机械的学习为策略的、高效的学习;有助于解决数学学科中教学生学会学习的问题.在学生数学解题过程中，以数学前提性知识、数学理论性知识和数学经验性知识为认知基础，以在解题的各个环节实施评价为认知策略，激发学生进行元认知活动的热情，从而培养、提高学生的数学解题能力.