一道期末试题背后的思考

●(景成实验学校 浙江杭州 310022)

这是一道2008年浙江省杭州市下城区八年级上册的期末试题.

例1在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°，E,F是AB,AC上的点.

(1)写出图1中的等腰三角形(△ABC除外);

(2)请你在图2，3中用另外2种不同的方法把1个等边三角形分割成4个等腰三直形.

图1

图2

图3

这是一道典型的等腰三角形分割试题.说明了一个等边三角形可以分割成4个等腰三角形，而这一问题的解决需要动手实验操作.这道题考查了学生的实践能力、创新意识、直觉思维能力和发散思维能力等综合素质，对于培养学生数学思维和解决问题的能力是一个很好的载体.一道貌似简单的期末试题却难倒了众多学生，全区八年级学生仅有10%的学生得满分，30%的学生得的是0分，这说明了学生对图形分割问题的探究能力还是相当薄弱的.而在近几年全国各地中考试题中像这类图形分割问题却频频出现.这不得不引起重视.这也激发了笔者对一般三角形进行等腰分割问题的研究.

解决这个问题的关键是什么？关键就是构造等腰三角形进行等腰分割.而解决这一问题的方法在哪里？在教材，在课本.探寻教材中构造等腰三角形的基本方法有以下3种：

方法1利用直角三角形斜边上的中线构造等腰三角形.

方法2利用中垂线性质构造等腰三角形.

方法3利用角平分线和平行线或角平分线和垂线构造等腰三角形.

下面思考如下问题：既然等边三角形能分割成4个等腰三角形，那么等腰三角形是否也能分割成4个等腰三角形呢？利用课本中构造等腰三角形的3种基本方法，可以得到如下的3种分割方法.

方法1利用角平分线和平行线或角平分线和垂线构造等腰三角形.

方法2利用直角三角形斜边上的中线构造2个等腰三角形.

方法3利用中垂线性质构造等腰三角形(注：∠ACB>45°).

接下来研究等腰三角形的孪生兄弟直角三角形，显然利用直角三角形斜边上的中线可以将直角三角形分割成2个等腰三角形.在探究过程中，笔者发现，如果把直角三角形分割成2个或3个直角三角形，那么利用直角三角形斜边中线这一性质，就可以把这个直角三角形分割为4个或6个等腰三角形.

图4

首先作斜边中垂线，把直角三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，然后将这个直角三角形分割成2个、3个直角三角形，利用直角三角形的斜边中线这一性质，把这个直角三角形分割为2个、4个、6个等腰三角形,这样就分别可以得到3个、5个、7个等腰三角形,如图4.

那么对于任意的自然数n(n≥2),能否将一个直角三角形分割成n个等腰三角形呢？由于直角三角形可以分割成2个或3个等腰三角形，因此就可以将问题转化为研究：n能否表示为n=2x+3y(x,y为自然数，n≥2).

将n分为偶数(n=2k)和奇数(n=2k+1)(k为正整数)2类:

当n=2k时，n=2k=2k+3×0，即只要把直角三角形分割成k个小直角三角形，然后每个小直角三角形分割成2个等腰三角形，就可以得到n个等腰三角形了；

当n=2k+1时，n=2k+1=2(k-1)+3×1，即只要把直角三角形分割成k个小直角三角形，然后把其中的1个直角三角形分割成3个等腰三角形，其余(k-1)个小直角三角形每个分割成2个等腰三角形，这样就可以得到n个等腰三角形了.

因此对任意自然数n(n≥2)都可以表示为2x+3y的形式,即对于任一个直角三角形都可以分割成2个或2个以上的等腰三角形.

这种分类讨论的数学思想，解决了怎样将一个直角三角形分割为n(n≥2)个等腰三角形的问题，同时对学生今后的数学学习也有着广泛的应用，譬如集合、三角函数和数学归纳法等.

有句话说：“人心不足蛇吞象”，可笔者认为做数学就要有“人心不足”这种精神.就如当代著名数学教育家波利亚说的一句话：“……数学有时就是一种猜测的游戏；在你证明一条数学定理之前必须先作猜测，……”.现在可以跟学生一起大胆猜想：对于一般三角形,也能分割成n(n≥4)个等腰三角形.

解答这类操作性问题，要抓住其数学本质——对一般三角形进行等腰分割，运用化归思想，把问题转化为大家所熟悉的数学问题——直角三角形分割问题.

怎样把一般三角形分割的问题转化为直角三角形的问题呢？做高是最好的方法，这样就可以把一般三角形分割成2个直角三角形，而每个直角三角形根据上面的研究都可以分割成2个或3个等腰三角形(如图5)，于是就可以把这类问题转化为研究n能否表示为n=2x+3y(x,y为自然数)的问题.

图5

根据上面的证明就可以得到一般三角形能分割成n(n≥4的自然数)个等腰三角形，问题随之迎刃而解.

至此，由八年级期末试题激发的探索基本得到解决，但一般三角形可以分割成的是n(n≥4)个等腰三角形，还可以引导学生去探索一个三角形满足什么条件能分割成2个等腰三角形.正是基于对教材的理解，大家一起探究由张晋红教师主编的《中考数学专题训练》里的一道题目：

例2已知在△ABC中，∠C为最小角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了2个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C的关系.

分析运用分类思想，将△ABC按边BC为底还是为腰分成如图6所示的4类：

(1)以BC为底，BD为底分别构造等腰三角形△BCD和△ABD，此时∠ABC=3∠C；

(2)以BC为底，AD为底分别构造等腰三角形△BCD和△ABD，此时

∠BAC=2∠C或∠ABC+3∠C=180°；

(3)以BC为底，AB为底分别构造等腰三角形△BCD和△ABD，此时∠ABC=90°；

(4)以BC为腰，∠C为顶角，AB为底分别构造等腰三角形△BCD和△ABD,此时

图6

如果对上面的这些问题有了充分地了解，那么运用这些知识解决下列各省市的中考数学试题和实际应用题中的等腰分割问题就简单多了.

下面再看一道应用题.

例3小娇的母亲开了一家皮衣美容店.一天，一位顾客送来一件皮衣，皮衣上有一个三角形孔洞，让她修补，此时店里有一块颜色、皮质与皮衣完全一样的皮子，其大小与皮衣的孔洞恰好一样，但方向相反，如图7，请你帮小娇的母亲想一想，怎样利用这块皮子(可剪开拼接，损耗不计)补满皮衣上的三角形孔洞.

图7

上面的等腰分割给大家这样的启示：求解本题的关键是把这2个三角形分割成若干对对应全等的等腰三角形.

那么本题怎样通过等腰分割，进而构造等腰三角形呢？

图8

图9

方法1利用直角三角形斜边的中线这一性质,将这2个三角形分割成4对对应全等的等腰三角形，通过平移变换和旋转变换，把图9所示的4个等腰三角形变换到图8所示对应的位置上，就能成功地为这件皮衣进行美容了.

方法2利用中垂线性质将这2个三角形分割成3对对应全等的等腰三角形，然后通过平移变换和旋转变换，就可以将图11所示的3个等腰三角形变换到图10所示对应的位置上，成功地为阿娇的母亲解决实际困难了.

图10

图11

例4(1)如图12，在△ABC中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成2个等腰三角形(不写作法，但必须保留作图痕迹).

图12

图13

图14

(2)已知内角度数的2个三角形如图13，图14所示，请你判断，能否分别画一条直线把他们分割成2个等腰三角形？若能，请写出分割成的2个等腰三角形顶角的度数.

(2008年浙江省宁波市中考试题)

分析图12是直角三角形,图13是3倍角关系，都能分割成2个等腰三角形.而图14虽然有∠C=2∠B的关系，但∠B不是最小角，它不符合上面讲过的4个条件中的任一个，所以图14不能分割成2个等腰三角形.

[1] 张晋红.中考数学专题训练[M].杭州:浙江教育出版社，2009.

[2] 谭建新.一道图形分割题的讨论[J].中学数学教学参考,2005(12):28-29.

[3] 陈锦樑.《数学课程标准》指导下的中考数学命题趋势及复习建议[J].中学数学教学参考,2007(10):33-35.