Leslie素矩阵的一个充要条件

刘 炎,何泽荣,王海涛

(杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江杭州310018)

0 引 言

Leslie矩阵模型在具有离散年龄结构的种群动力学中处于基础地位[1]。将目标种群的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间;同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,然后将这两类子区间分别从小到大依次编号。用xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n,…);表示在第j个时间段内、年龄位于第i段的种群个体数量。假设种群规模的变化只决定于时间和年龄,而忽略密度制约因素。设bi(i=1,…,n-1;0＜bi≤1)是年龄处于第i段的个体能活到第i+1段的概率,ai(i=1,2,…,n;ai≥0)是年龄为i段上的每一个个体在一个时间段内平均生育下一代的数量。那么可将该目标种群的Leslie矩阵模型表示为,其中向量,A为标准Leslie矩阵。如果矩阵A为素矩阵,则该种群年龄分布将趋于稳定分布,同时该目标种群的动力学行为具有一系列重要性质[2-4]。因此给定某目标种群的Leslie矩阵A后,如何来判断矩阵A为素矩阵的问题,对于研究该种群的动力学行为具有重要意义。

1 主要结果及证明

素矩阵定义:设A是n阶非负矩阵,如果存在一个正整数m,使得Am＞0,则称A为素矩阵或本原矩阵[5]。

本文给出如下定义:

定义1 对n维实向量α,β,若α,β对应维的元素同号,则称α,β等同,记作α≃β;

n阶实方阵A,B,若A,B对应元素同号,则称A,B等同,记为A≃B。

定义2 等同加运算:0⊕0=0;0⊕1=1;1⊕0=1;1⊕1=1。

为叙述方便,记n阶非负矩阵A=(aij)n×n的关联矩阵为A*=()n×n,其中按素矩阵的定义,易知非负矩阵A与其关联矩阵A*同时是素矩阵或同时不是素矩阵。

再记矩阵A中正元素的个数为τ(A)。

定理1 对Leslie矩阵A,令R={aki|aki＞0,ki∈{1,2,…,n}},那么当且仅当an＞0,并且至少存在ak1,ak2∈R,满足k1,k2互素,即(k1,k2)=1时,A为素矩阵。

证明 (1)充分性

不失一般性,设k1＜k2。

(2)必要性

设A为素矩阵,则A*也是素矩阵。如果an=0,无论其他ai如何取值,记为n-1阶方阵,a1为n-1维列向量),则,那么Ak(∀k∈N)的最后一列必为零向量,这与A为素矩阵矛盾,所以必有an＞0。

假设(k1,k2,…,ks)≠1,不失一般性,令k1＜k2＜…＜ks,由 an＞0知,ks=n。设(k1,k2,…,ks)=u=,其中pi为素数,ri为正整数(i=1,2,…,t)。因为ks=n,所以有u|n,从而有pi|n。令Sp={atpi|it=1,2,…,n/pi}={api,a2pi,…,an},则由(k1,k2,…,ks)=可得 R⊆Si。考虑 R⊆Sp1=,则对应矩阵的关联矩阵:

那么:

依次类推,可得:

依次类推,可得:

于是又有:

2 举 例

使素矩阵A满足Ak＞0的最小的k,称为A的本原指标,记作γ(A)[6]。设Leslie矩阵A,当n=10时,设a10＞0,并至少存在ak1＞0,ak2＞0,满足(k1,k2)=1,即符合定理1的条件。计算γ(A)如表1所示:

表1 本原指标计算表

由表1可知:当n=10时,对于满足定理1条件的组合,均存在γ(A),使得Aγ(A)＞0,即对于满足定理1条件的所有组合所对应的矩阵A均是素矩阵。

3 讨 论

该文针对Leslie矩阵A,给出了一个判定A为素矩阵的充要条件,并且该条件只需根据Leslie矩阵A中第一行上正元素所处的位置来判别,不用进行烦琐的矩阵幂运算,操作起来十分简单。那么对于一般的非负矩阵B,能否找到一个方便的判定方法呢?此问题正在进一步研究中。

[1] 马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1994:34-38.

[2] Brauer F,Castillo-Chavez C.Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology[M].New York:Springer,2000:339-345.

[3] Leslie PH.On the uses of matrices in certain population mathematics[J].Biometrika,1945,33(5):183-212.

[4] Hauser CE.Control of structured populations by harvest[J].Ecological Modeling,2006,19(12):462-470.

[5] 戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001:274-275.

[6] 黄廷祝,钟守铭,李正良.矩阵理论[M].北京:高等教育出版社,2004:255-258.