求解一类高阶奇摄动线性边值问题

卫丽娟

（中北大学 理学院，山西 太原 030051）

求解一类高阶奇摄动线性边值问题

卫丽娟

（中北大学 理学院，山西 太原 030051）

文章研究了一类高阶奇异摄动线性系统的近似解，通过降阶将高阶奇异摄动系统转化成一般的低阶变系数奇异摄动系统，再根据不同的边界层引入伸长变量构造渐近解，并对其进行分析，得出了相应的结果.

高阶奇异摄动；系统降阶；边界层；渐近展开式

0 引言

奇异摄动微分系统是应用数字的一个重要分支，应用于动力系统、化学反应、控制理论等各个方面，因此分析和解决奇异摄动问题引起了众多学者极大的关注［1－7］.其中文献［1］利用零阶渐近展开解在再生核空间上分析了三阶奇异摄动边值问题，文献［2］利用零阶渐近解分析和四阶奇异摄动边值问题，而对于高阶奇异边值问题还很少进行研究.本文主要研究了高阶奇异摄动系统的近似解.

考虑如下高阶线性奇摄动问题

其中，0＜ε≪1，m＞n，m，n∈N＋，ai（x）（i＝1，…，n＋1）为充分光滑的连续函数，bi（i＝1，…，k－1），bj（j＝1，…，m－k－1），k均为常数.

首先假设如下条件成立：

（H2）如果ui（x）是式（1）的k个渐近解，那么渐近展开式（2）也是系统（1）的解.

当ε→0时，将（2）式代入（1）式并令ε的同次幂相等，得到

由（3）式容易求得u0的表达式，再将u0的表达式代入（4）式容易求得u1的表达式，依次可以求得u2，u3，…，un的表达式，再代入（2）式可以求得u（x，ε），即系统（1）的解.

1 系统降阶

一般的高阶奇异摄动问题直接求解是困难的，本文我们引入降阶利用变换将高阶的求解问题转化为低阶的求解问题，从而方便了我们的研究，而低阶的问题又有不同的情形，现在进行具体的分析.

我们首先对系统进行降阶运算.由于（H1）成立，可以对系统（1）进行变换，具体过程如下：

情形一：当m－n＝1时.

注 当m－n＞2时，降阶方法同情形一、二一样，但具体求解过程有待进一步探讨.

2 系统解的分析

情形一：在［0，1］上，对于（9）式中二阶奇异摄动系统a1（x）＞0系统（1）的边界层在左端，当a1（x）＜0边界层在右端［8］.

为了利用多重尺度法决定（9）式一致有效的首阶近似，我们寻找一个关于u0，n渐近展开式

当x→0时，g（x）→x，将展开式（10），（12）代入系统（9），取ε0和ε－1的系数为零时，得到

同理可以得到一阶及更高阶的近似.

当x→1时，g（x）→1－x，将展开式（11）代入系统（9）取ε0和ε－1的系数为零时，得到

情形二：在［0，1］上对于系统（10）形式时，有两个边界x＝0和x＝1.

注 上面分析中得到的是进行n次求导后的近似解，在具体解决过程中要根据情况对近似解进行积分求得更精确的解，对于m－n＞3的情形有待进行更深入的探讨.

3 小结

本文主要讨论了一类高阶奇异摄动线性边值问题的求解方法，首先利用降阶将高阶转化为低阶，再运用多重尺度法对m－n＝1和m－n＝2两种情况进行具体分析讨论，得出相应的结论.

［1］Cui Minggeng.A computational method for solving third－order singularly perturbed boundary－value problems［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，198：896-903

［2］Shanthi V，Ramanujam N.Computational methods for reaction-diffusion problems for fourth order ordinary differential equations with a small parameter at the highest derivative［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，147：97-113

［3］张小蕾，么焕名.求解一类二阶奇异摄动两点边值问题［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2009，25（6）：17-19

［4］莫嘉琪，韩祥临.一类奇摄动非线性边值问题［J］.数学研究与评论，2002，22（4）：626-630

［5］周 冉，张艳妮，黄京男.一阶常微分方程组的奇异摄动问题［J］.吉林大学学报（理学版），2009，47（5）：941-944

［6］Valarmathi S，Ramanujam N.An asymptotic numerical method for singularly perturbed third-order ordinary differential equations of convection-diffusion type［J］.Computers and Mathematics with Applications，2002，44：693-710

［7］Du Zengji.Singularly perturbed thire-order boundary value problem for nonlinear systems［J］.Applied Mathematics and Computation.2007，189：869-877

［8］Nafeh A H.Problems in perturbation［M］.New York：John Wiley ＆ Sons，1985

［9］Nafeh A H.Introduction to perturbation techniques［M］.New York：John Wiley Wiley ＆Sons，1981

Solving a Class of High-Order Singularly Perturbed Linear Value Problems

Wei Lijuan
（College of the Sciences，North University，Taiyuan 030051，China）

We discuss the approximate solution of a class of high-order singularly perturbed linear value Problems.First，we translate the high-order singular perturbed systems into general low-order variable coefficient singularly pertubed systems through the reduced order，Then according to the different boundary layer introducing a stretched variable and structuring asymptotic solution，carry on the analysis and obtain the correspondingresult.Finally，we give some examples to validate the correctness of the result.

high-order singularly perturbed；multi-scale method；boundary layer；asymptotic expansion

王映苗】

1672-2027（2011）03-0036-05

O175.14

A

2011-04-17

卫丽娟（1985-），女，山西长治人，中北大学理学院在读研究生，主要从事应用数学研究.