由一道考题引出一类二次曲线的等角性质

●陈重阳 (温州中学 浙江温州 325100)

由一道考题引出一类二次曲线的等角性质

●陈重阳 (温州中学 浙江温州 325100)

翻阅2011年浙江省普通高中数学会考试卷，其中第41题第(2)小题引起了笔者的兴趣．笔者对该题进行探究后，引出了一类二次曲线的等角性质，供参考．

1 引题

如图1所示，圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于点N，M(点N在点M的左侧)，且|MN|=3．

(1)求圆C的方程．

(2)过点N任作直线与圆O:x2+y2=4相交于点 P，Q，连结 PM，QM．求证:∠PMN=∠QMN．

分析 (2)由已知易得，N(1，0)，M(4，0)，要证∠PMN=∠QMN，只需证斜率kPM=－kQM，即证kPM+kQM=0，于是可转化为坐标关系

具体求解过程略．

2 激疑

图1

图2

3 追问

在圆锥曲线中是否也有相应的等角性质呢?笔者经过探求，得到以下性质定理．

图3

证明设过点N的直线PQ的方程为x=ky+m(k为参变量)，则

(3)当 A=F=0，B=1，D= －2p时，二次曲线Γ表示抛物线:y2=2px，此时使等角性质成立的定点是 M(－m，0)．

对任意二次曲线，也可通过变换得到相应的性质，这里不再赘述．

［1］ 闻杰．圆锥曲线结构思想与解题策略［M］．杭州:浙江大学出版社，2010．