在轨服务飞行器服务范围的定量分析

李岩，蔡远文，同江

(1.装备指挥技术学院 航天装备系，北京 101416;2.装备指挥技术学院 试验指挥系，北京 101416)

目前对于在轨服务飞行器(on-orbit service vehicle，OSV)待机轨道服务范围的研究［1-6］大多针对预定的单一服务对象，而OSV在执行突发或应急服务任务时，其待机轨道的选择则需要兼顾可能出现服务需求的多个服务对象的群体.因此在选择待机轨道时，需要分析OSV从该轨道出发，在变轨能力一定的约束下，能够达到的空间范围，本文将此范围定义为OSV在该待机轨道的服务范围，该范围也是衡量OSV应对突发任务时的适应性和灵活性的重要指标.合理选择待机轨道参数，可以使单艘OSV的服务范围最大化，从而覆盖更多的服务对象，提高OSV的利用效率.待机轨道服务范围可以用OSV变轨后可达的目标轨道集(轨道参数的范围)来描述.以下从轨道平面的改变和轨道高度的改变两方面入手进行分析.

1 轨道平面的改变范围

OSV的待机轨道，往往与突发任务中服务对象轨道不在同一平面内.OSV在待机轨道的不同位置以最大速度增量改变轨道平面时，能够到达的目标轨道(变轨后的轨道)的倾角和升交点赤经在某范围内变化.该范围决定OSV能否到达服务对象的轨道平面.如图1所示，以圆形轨道为例，该问题可以描述为:已知待机轨道倾角i0，半径r0(轨道高度为h0)，升交点赤经Ω和OSV最大变轨速度增量Δv，确定变轨位置γ在(－π，π)变化过程中，目标轨道倾角i1和升交点赤经差ΔΩ的变化范围.轨道平面的改变可以有图1中(a)、(b)2种情形［7-9］.

图1 轨道平面的改变Fig.1 The changing of orbit plane

由于轨道平面改变前后均为圆形轨道，则有

式中:Δi为轨道平面二面角，μ为地球引力常数，re为地球半径.

设AC段对应的地心角为β，以图1(a)情形为例，根据球面三角关系，得到

从中解得ΔΩ(式中ΔΩ向西为正)和β后，代入下式，可得到轨道面改变后的倾角i1:

显然，当γ=0时，i1=i0－Δi，ΔΩ=0;当γ=π时，i1=i0+Δi，ΔΩ=0;在这2个特殊位置，改变轨道平面可以只改变轨道的倾角，而不改变升交点赤经，且轨道倾角的改变量最大.同样可以找到另外的特殊位置γΩ，可以只改变升交点赤经差ΔΩ，而不改变轨道倾角.此时的γΩ满足:

此外，还可以找到使ΔΩ达到极值的变轨位置γΩmax，由式(3)和(4)得

由极值必要条件定理，γΩmax满足:

由式(8)和(9)解得

式(10)在各分母不为零的情况下成立，特殊情况如i0=Δi，i0=0等，需要特殊分析.文中仅讨论顺行轨道范围的特殊情况，即i0∈［0°，90°］.当i0≤Δi时，说明OSV的轨道平面能够从待机轨道改变到赤道平面，甚至越过赤道平面，使计算所得的最小倾角i1≤0°(i1=i0－Δi).实际上，此时变轨后的轨道倾角应取绝对值|i1|，而升交点赤经差突变180°.若规定Ω的变化范围为［－180°，180°)，那么此时升交点赤经能够到达此区间内的任何值.当i0=0°时，向前进方向右侧变轨，升交点赤经差与变轨位置γ相差180°.图1(b)情况类似，不再赘述.

以轨道倾角i0=30°，轨道高度h0=300 km，OSV单次最大脉冲速度增量Δv=1 km/s的情况为例.由式(2)得 Δi=7.421 4°，即轨道倾角在22.578 6°～37.421 4°变化;根据式(6)和(7)可得，当 γΩ=±83.550 3°时，轨道倾角不变，此时ΔΩ=±14.874 1°;由式(8)～(10)可得，ΔΩ的变化范围为－14.971 1°～14.971 1°，达到极值时γΩmax= ±76.9612°.因此，OSV在该待机轨道上向前进方向右侧变轨范围:倾角为22.578 6°～37.421 4°，升交点赤经为(Ω－14.971 1°)～(Ω+14.971 1°)之间的圆形轨道集，如图2所示.

图2 Δv=1 km/s时，OSV从待机轨道出发的可达轨道集Fig.2 When Δv=1 km/s，the reachable orbits of the OSV

2 轨道高度的改变范围

仍以圆形待机轨道为例，设待机轨道高度为h0，半径r0，OSV以最大机动速度增量Δv(矢量)在轨道平面内变轨.变轨后的瞬时速度矢量为v0+ Δv，由轨道活力公式可得变轨后的轨道半长轴a:

可见，变轨后瞬时速度的大小越大，半长轴越大.矢量v0的大小和方向确定，而Δv的大小确定、方向不定.显然，当Δv与v0方向一致时，|v0+Δv|得到最大值，此时向高轨变轨后的轨道半长轴达到最大值amax，所达到的轨道高度为轨道远地点高度，也取最大值，设为hmax:

当Δv与v0方向相反时，|v0+Δv|得到最小值，此时向低轨变轨后的轨道半长轴达到最小值amin:

例如:Δv=1 km/s时，轨道倾角为30°，高度为300 km的圆形待机轨道的可达区域为 0～5 382.2 km.

Δv=1 km/s时，OSV可达区域随待机轨道高度的变化曲线如图3所示.

然而，在上述过程中，变轨后轨道为霍曼椭圆轨道，并没有完成轨道间的转换.要使OSV最终进入另一圆形轨道，还需要再次施加速度增量.所以，hmax和hmin表征了在一定机动能力下，OSV可以到达的最大轨道范围，仅有理论性的指标意义.在轨道高度变化的实际操作过程中，一般不会将OSV的机动能量仅用于一次变轨，到达上述最大高度;较常用的是通过至少2次速度脉冲，使OSV完成两共面不相交轨道的过渡.以两圆形轨道的霍曼转移过程为例进行分析，图4中描述了霍曼转移的基本过程［10-13］.

图3 待机轨道高度的最大可达范围Fig.3 The maximum reachable range from the parking orbit

图4 霍曼轨道转移Fig.4 The Hochmann transfer model

图4中低轨半径为rp，高轨半径为ra，点P和A分别为霍曼椭圆轨道的近地点和远地点，设低轨运行速度为vL，高轨为vH，则

而霍曼转移轨道的近地点和远地点速度分别为vp和va:

那么，两次速度脉冲增量的和Δv:

为了方便计算，令ra/rp=b，由低轨向高轨转移时，rp取待机轨道半径r0，则

若仅研究同步轨道以内的目标轨道和待机轨道时，b的取值范围约为［1，7).要分析在最大速度增量Δv=1 km/s的前提下，OSV从待机轨道出发能够达到的最高轨道高度hmax，需要根据式(17)求解半径比b，进而得出最高轨道范围hmax=b×r0－re.hmax解析表达式比较复杂，利用牛顿迭代法或直接搜索法得到数值解，如图5所示.

由高轨向低轨转移时，ra取待机轨道半径r0，则

此时，b的取值范围为［1，r0/re).同样利用数值计算方法得到hmin=r0/b－re，如图5所示.

图5 霍曼转移时，待机轨道可达范围Fig.5 The maximum reachable range from the parking orbit，when Hochmann transfer

对比可见，在图5中，采用2次冲量转移的待机轨道的可达范围大大缩小.在待机轨道高度为0～1 992 km时，待机轨道以下的同平面轨道区域全部可达;轨道高度大于1 992 km后，低轨不可达的区域逐渐增加;在待机轨道高度大于17 481 km之后，从待机轨道到同步轨道高度36 000 km之间的区域均可达.所以，在最大速度增量为1 km/s约束下，OSV采用霍曼二次脉冲增量转移时，针对低轨目标的待机轨道高度可以控制在1 992 km以内;针对中高轨目标，则可将待机轨道的高度选为高于10 000 km;针对同步轨道目标，则要高于17 481 km.

3 轨道高度和轨道平面改变的综合分析

OSV的最大脉冲速度增量与可用于轨道机动的推进剂质量相关.在执行服务任务时，OSV需要对推进剂质量进行合理分配，分别用于改变轨道平面和轨道高度.推进剂质量的分配等价于最大速度增量Δv的分配.

下面以最大速度增量Δv=1 km/s为例，研究OSV从圆形待机轨道出发，进行一次轨道平面改变和一次双脉冲霍曼转移时，能够到达的圆形目标轨道集，从而确定OSV从该待机轨道变轨的可达范围.

设OSV用于改变轨道平面的速度增量为Δvp= kΔv，其中k∈［0，1］，定义为用于改变轨道平面的速度增量分配系数.那么，用于改变轨道高度的速度增量为Δvh=(1－k)Δv.由前两小节的分析，可知目标轨道集的倾角i1、待机轨道的升交点赤经差ΔΩ以及轨道高度h1的变化范围，即待机轨道的可达范围.这些参数是待机轨道倾角i0，高度h0和OSV速度增量Δv的函数为便于表述，分别用fi，fΩ和fh表示，关系式分别为式(1)～(5)、式(8)～(10)和式(14)～(18).按照轨道平面和轨道高度改变的先后顺序不同分为2种情况.

先改变轨道平面然后改变轨道高度的情况:先改变轨道高度然后改变轨道平面的情况:

由上述关系式可知，目标轨道集高度的变化范围仅与待机轨道高度和分配的速度增量有关，与轨道倾角无关，所以h1的变化范围与轨道平面和高度改变先后顺序无关.而轨道平面改变带来的轨道倾角和升交点赤经差的变化在变轨顺序不同时，存在差异.由轨道动力学常识可知，同样的速度增量在较高轨道产生的轨道平面改变范围较大.以高度h0= 17 481 km，倾角i0=30°，升交点赤经Ω0=0°的圆形待机轨道为例，图6为不同变轨顺序时，轨道高度和倾角可达范围比较.

可见，在确定OSV空间部署和变轨策略时，为了使OSV在有限的机动能力限制下，达到最大的服务范围或尽可能节省燃料消耗，需要遵循“在高轨道改变轨道平面”的原则.最大服务范围如图7所示.

升交点赤经的变化范围，同样与轨道平面的改变范围有关，其分析过程与轨道倾角变化范围相似，这里仅给出其变化范围与轨道高度可达范围的关系，如图7(c).

图6 变轨策略不同时，轨道高度和倾角可达范围比较Fig.6 Different reachable range of height and inclination angle according to different orbit changing

4 服务范围随待机轨道高度、倾角和OSV机动能力的变化分析

为了更清楚的了解待机轨道高度、倾角以及OSV机动能力不同时，服务范围的变化情况，设计如下仿真试验(数据见表1).

图7 待机轨道最大可达范围Fig.7 The maximum reachable range from the parking orbit

轨道高度选取1 992 km和17 481 km，由前述分析可知，它们分别为OSV在1 km/s机动能力下，能够实现向低轨全部覆盖的最高高度和到达GEO的最低高度.试验1(图8)可以看出，可达目标轨道集(服务范围)的轨道高度范围、倾角范围、升交点赤经差变化范围均随着高度的增高而增大，服务范围的空间体积也变大.

表1 试验数据Table 1 Simulation data

试验2(图9)中选择了轨道倾角为0°时的特殊情况进行对比.图9(a)中轨道倾角为0°时待机轨道的服务范围并非减半，由于此时无论OSV向前进方向右侧或左侧变轨，其轨道平面法线与地轴交角(轨道倾角定义)只能取正值，而其升交点赤经则相差180°，如图9(b)所示.因此，其服务范围的空间体积并没有减半.相比之下其升交点赤经的变化范围增大，可以在(－180°，180°)取值.事实上，只要k≠0，其升交点赤经的变化范围均为(－180°，180°)，图9(b)中倾角为0°时的升交点变化范围应当近似矩形，误差是由于绘图时中间变量k的取值步长较大(0.1)造成的.因此，轨道倾角在顺行轨道范围变化时，可达目标轨道集的轨道高度范围不变;轨道倾角范围随待机轨道倾角变化而整体平移;升交点赤经差变化范围随着待机轨道倾角增大而减小;服务范围的空间体积无变化.

图8 试验1服务范围比较Fig.8 Servicing area comparison of simulation 1

图9 试验2服务范围比较Fig.9 Servicing area comparison of simulation 2

显然，试验3(图10)中，服务范围的各个参数均随轨道机动能力的减小而减小.

从上述对比和分析可以看出，若不考虑发射成本和消耗，为了使机动能力有限的单艘OSV服务范围最大化，需要在满足预定覆盖要求的前提下，选择高度尽可能大，倾角尽可能小的待机轨道.

图10 试验3服务范围比较Fig.10 Servicing area comparison of simulation 3

5 结束语

以上分析基于二体问题动力学模型，以待机轨道为圆形的情况为例，讨论单艘OSV以一定机动能力从待机轨道变轨可达的空间范围.在三维空间中，该范围是如图7(b)中近四边形区域绕过地心的待机轨道平面法线旋转360°得到的轮环形空域(如图7(a)).

从空域覆盖性角度，提出了待机轨道选择的基本原则和思路，即OSV待机轨道的选择至少应使其服务范围能够到达服务目标的运行空间.文中提出的服务范围的计算方法为多OSV组网策略的研究提供了理论依据.但该方法采用的轨道动力学模型较简单，未考虑摄动影响以及椭圆轨道等复杂情况，为得到更加准确和实用的待机轨道及其服务范围，需要考虑多种复杂条件，进一步细化模型和算法.

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