舰船辐射噪声的混沌特性检验*

闫源江 甘新年 胡光波

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1 引言

舰船辐射噪声信号是一种复杂且不规则的时间序列。舰船辐射噪声是否含有混沌特性,并如何在水下复杂环境下提取出舰船目标的混沌特征并加以分类,从而达到对舰船目标的有效识别,成为学者们越来越感兴趣的内容,随着混沌理论以及非线性时间序列分析的逐渐深入,结合其它现代信号处理方法,舰船噪声信号的非线性和混沌研究也必将逐渐成熟,从而推动水下目标信号的特征提取和识别技术的进一步发展。

一般来说,混沌特性主要是基于最大 Lyapunov指数大于零这一特征来判别。但是最大Lyapunov指数大于零只是混沌特性存在的必要条件,并不是判断混沌现象存在的充分条件。除了最大Lyapunov指数大于零这一条件成立之外,还需要所有的 Lyapunov指数之和小于零等。这是因为混沌吸引子是耗散系统的专有特征,是扩散与收缩两种作用相互牵制的结果。为了维系混沌吸引子的存在,总的收缩率必然超过总的扩散率。这样,即使系统具有几个正的 Lyapunov指数时,如果对整个Lyapunov指数谱求和,所得结果仍是负值。

本文对传统的只求最大Lyapunov指数而判别混沌特性的方法做出改进,在 Darbyshire等人[1～2]提出的计算噪声时间序列Lyapunov指数的基础上,针对D-B法排除可疑的Lyapunov指数的困难,本文提出在D-B法计算Lyapunov指数之前先利用相空间重构的方法确定指数的个数,然后再根据简化的D-B法计算全部指数。该方法省去了原算法排除可疑Lyapunov指数的过程,而且因为相空间重构中虚假最近邻点法本身的抗干扰能力,所以能进一步克服噪声的干扰,尤其适合对含有噪声的实测数据的 Lyapunov指数的计算。最后对实测舰船辐射噪声序列作Lyapunov指数估计,检验了舰船辐射噪声的混沌特性。

2 Lyapunov指数

为了有效地刻画吸引子,有必要研究动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后得到的特征量,如 Lyapunov指数、分数维和 Kolmogorov熵。混沌运动的基本特点就是运动对初始条件的极为敏感性。两个极靠近的初值产生的运动轨道,随时间的推移按指数形式分离,Lyapunov指数就是描述这一现象的量。

2.1 Lyapunov指数的定义

混沌动力系统有对初始条件的敏感依赖性,这意味着在状态空间中无限靠近的两个向量会产生两条指数分离的轨线,设M维混沌动力系统为

为了从整体上刻画系统,引入不同局部因子的一个适当的平均,即Lyapunov指数,定义为

M个不同的λi称为Lyapunov指数谱,其中最大的一个称为最大Lyapunov指数,如果最大Lyapunov指数是正的,意味着相邻的轨线按指数发散,即系统可能是混沌的。

2.2 改进的Lyapunov指数谱算法

首先给定一个时间序列{vi}Ni=1,利用文献[3]中介绍的的互信息法[4]和虚假最近邻点法[5]计算被测时间序列的嵌入延迟和最佳嵌入维数,然后利用简化的D-B方法估计Lyapunov指数谱,这种改进的算法克服了原算法排除可疑的Lyapunov指数的过程,而且FNN方法本身具有抗干扰的能力,所以能进一步克服噪声干扰,适合对含有噪声的实测数据进行 Lyapunov指数的计算。具体算法如下:

其中m为嵌入维数,τ为时间延迟,通过对矩阵A进行奇异值分解得到A=U*S*C。其中U和C是正交矩阵,分别称为A的左右奇异向量,且

利用轨迹矩阵A和最佳嵌入维数m求得维数为N×m子空间矩阵X:

其中(Rj)ii是Rj的第i个对角元素。λi即为时间序列的Lyapunov指数。

3 仿真试验及结果分析

仿真首先以典型的混沌信号Henon吸引子为例验证算法的有效性。采用新算法对 Lyapunov指数的估计进行仿真,Henon吸引子方程[8]为

用Rung-Kutta法求解微分方程组,其中 Δ t=1,得到离散的吸引子数据,从500点开始对一定数据长度的Lyapunov指数谱进行计算仿真,Lyapunov指数谱和最大Lyapunov指数谱如图1所示,同时计算得到Henon吸引子各个Lyapunov指数分别为λ1=0.4286,λ2=-1.6326,其中最大Lyapunov指数约为0.42,这与理论值是十分吻合的。

图1 Henon吸引子 Lyapunov指数谱

在Henon吸引子数据中加入高斯白噪声,信噪比为6dB。其它试验条件同上,得到Lyapunov指数谱和最大Lyapunov指数谱如图2所示。同时计算得到Henon吸引子各个Lyapunov指数分别为 λ1=0.4462,λ2=-1.6502,其中最大 Lyapunov指数由于受到噪声的影响,计算值比第一组稍大,值为0.4462。可以看出在含有噪声和未含噪声的Henon时间序列的Lyapunov指数基本相等,说明了算法的有效性。从图可以看出,当数据点大于800左右以后指数就趋于稳定,说明了本算法的具有快速收敛性,可以收敛到稳定值。

图2 含噪Henon吸引子Lyapunov指数谱

图3 某类舰船辐射噪声Lyapunov指数谱

对三类水中目标共120个样本(每种40个样本)进行 Lyapunov指数谱和最大 Lyapunov指数的特征提取。每个样本长度为5000,采样率为25KHz。从 500点开始一直到后面若干点,计算得到三种目标辐射噪声某一样本的 Lyapunov指数谱如图3所示,三种目标Lyapunov指数谱和最大Lyapunov指数平均值见表1。

表1 三类舰船辐射噪声的Lyapunov指数估计结果

仿真结果表明,三种水中目标辐射噪声的最大Lyapunov指数λ1均存在,且都大于零,指数之和均小于零,检验了三类水中目标信号确实具有混沌特性。

4 结语

本文在Darbyshire-Broomhead关于含有噪声的实测数据的 Lyapunov指数谱的计算理论基础上,对其进行改进,减少了计算的复杂程度,并增强了抗干扰能力,算法成功应用于对舰船辐射噪声时间序列的混沌特性检验,仿真结果表明舰船辐射噪声确实具有混沌特性,这为进一步开展基于混沌预测的舰船目标检测和基于混沌理论的舰船目标特征提取和自动识别等工作奠定了理论基础。

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