拉物滑动的省力分析

张雪辉

(江苏省郑集高级中学,江苏铜山 221143)

如图1,当我们用力F在地面上拉动一质量为m的物体进行相同状态的运动时,究竟是拉力F与地面所成夹角θ越小越省力,还是越大越省力?

图1

对于这个问题,有人认为,θ角越小越省力.理由是θ角越小,拉力F沿运动方向使物体滑动的分力Fx越大,因而就越省力.有人认为θ角越大越省力,理由是拉力F在垂直于运动方向上有一向上的分力Fy,此力减小了物体对地面的压力,从而减小了摩擦阻力;θ角越大,Fy越大,摩擦力减小得越多,所以越省力.后面的论证将指出,这两种答案都是片面的.

其实,这个问题在物体与地面间的动摩擦因数μ值未确定以前,是不可能得出明确的答案的.因为在使物体保持相同运动状态(如匀速直线运动或匀加速直线运动)的情况下,拉力F的大小(省力不省力的问题),不仅跟θ角的大小有关,而且还跟动摩擦因数 μ值的大小有关.这个问题的正确答案应该是:当μ值确定以后(在一个确定的实际问题中,μ值可认为已确定),从拉力F与地面的夹角θ从零开始,增大的起初阶段,θ角越大越省力(所用拉力F越小);当θ角增大到某一临界值时最省力,即是使物体保持相同的运动状态所用的拉力F最小.但当θ角继续增大超过临界值进入第2阶段以后,则随θ角的增大便越来越费力了;θ角这一临界值的大小取决于动摩擦因数μ值的大小:对应着不同的μ值,θ角将有不同的临界值.

下面,我们就来论证这个问题.论证的关键是导出拉力F的大小随夹角θ与动摩擦因数μ而变化的函数关系,而在这一函数关系中可把μ值作为参量处理.为使论证简化起见,我们先讨论在拉力F的作用下物体在水平面上匀速直线滑动的情况(滚动的情况较为复杂,本文不讨论),然后再推论到物体在斜面上的匀加速向上滑动的情况.在匀速直线滑动的情况下,物体的受力情况如图1所示.图中f为摩擦力,Fx与Fy分别为拉力F的水平分力与竖直向上的分力,mg为物体所受的重力.

根据牛顿第二运动定律,可得

Fx-f=ma.

因为匀速直线运动的加速度 a=0,故有 Fx-f=0.而

Fx=Fcosθ,f=μN=μ(mg-Fy)=μ(mg-Fsinθ),

所以 Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=0.

整理后得

显然,θ角由0°变到α时,cos(θ-α)的值变大,拉力 F的值变小,即越来越省力;θ角由α变向 90°时,cos(θ-α)的值变小,拉力 F的值变大,即越来越费力.因而,在θ=α时,即拉力 F的值变小与变大的转折点,所以把α叫做θ角的临界值(即函数的极值点).由于θ等于临界值时最省力,所以把θ角的临界值α叫做省力角,其大小由(1)式确定为 α=arctanμ.显然这个临界值 α由μ值的确定而确定以后,拉力F随θ角的变化情况才有确定的范围.

例如,当 μ=0.5774时,由(1)式可得θ角的临界值 α=arctan0.5774=30°.这就是说,当 α角由0°变到其临界值 30°时,cos(θ-α)便由 cos(0°-30°)变为 cos(30°-30°),它随 θ角的增大而变大,由(2)式得,拉力 F的值变小,即越来越省力;而当θ角由其临界值30°继续增大趋向90°时,cos(θ-α)则由 cos(30°-30°)趋 cos(90°-30°),它随 θ角的继续增大而变小,由(2)式得拉力 F的值变大,即越来越费力.

必须指出的是,由于实际问题中μ的取值范围只能在大于0到小于 1之间,故由(1)式可知:θ角的临界值α的取值范围为 0°＜α＜45°.

现在再来讨论一般的情况.当我们用力F拉动物体使其沿斜面向上做匀加速直线滑动时,物体的受力情况如图2所示,其运动方程为

图2

比较(3)式与(2)式,可以看出两者拉力函数F的极值虽然不同,但它们的函数极值点(即函数取得极值的自变量θ角的值)和函数的升降规律却是一致的.因此,拉动物体在水平面上进行匀速直线滑动所用拉力F的大小随θ角与μ值而变化的规律,在其他情况下和其他形式的直线滑动中都是适用的.