对一题多解的辩证理解

435100 湖北省大冶市第一中学 余锦银

1 一题多解的优点

“一题多解”之所以深受数学教师的重视，就是因为在解题过程中能够引导学生多层次、多角度的思考问题，全面地应用知识来分析问题与解决问题.

例如人教版第二册(下B)的习题9.8的第4题：如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求直线 DA'与 AC的距离.教师可以引导学生从不同的入口，挖掘不同的解法.

解法1∵AC∥平面A'DC'，

∴点A到平面A'DC'的距离h就等于异面直线AC与DA'的距离，从而转化为点面距.

解法2不妨在AC上任取一点H，过H作GH⊥AD交AD于点G，则GH⊥平面ADD'A'，

∴GH⊥A'D，在A'D上再任取一点F，转化为异面直线上任意两点距离的最小值.

解法3以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D'(0，0，1)，A'(1，0，1)，设MN的一个方向向量为a=(x，y，1)，利用a⊥→—AC，

在教学中，教师应发掘问题的多解因素，结合学生的实际情况，鼓励学生以问题为出发点，不囿于单一的解题思路和方法，引导学生在解法上求异，尽可能寻求较多的解题思路、方法.而教学中通过一题多变的教学手段，能使学生深刻吃透知识的外延与内涵，同时培养了学生的发散思维能力，挖掘出学生的创新潜力，形成探究意识，从而达到以一胜多的功效.

2 一题多解的常见误区

在高三复习中，许多教师都非常重视一题多解教学，因为一题多解教学既能帮助学生夯实“双基”，又可以培养学生思维的发散性和灵活性，提高学生能力，从而提高高三习题教学的复习效果.然而笔者发现，有些深爱学生的老师，正是用自己的奋斗——“一题多解”的使用不当，去摧毁自己的复习目标——老师精彩讲解后，很多学生却感慨“老师讲的头头是道，可是我为什么就想不到?”.

常见误区一教师或尖子生唱“独角戏”.有的教师在课堂上常把自以为得意的“巧解妙法”大肆罗列，或将个别尖子学生的思维代替全班学生的思维，把大多数学生放在一边作陪衬，以至于很多的巧解妙法难于为多数学生所理解和接受.

高效原则1面向大多数.试想，对一名基础题型都搞不明白的学生，大谈什么“一题多解”有什么实际意义呢?这样做恐怕只能是麻雀跟着蝙蝠飞——熬了眼睛受了罪.结果越听越糊涂.如同邯郸学步——跑没学会，走也忘了.这显然与我们实施“一题多解”的初衷背道而弛.对这样的学生，教师必须先解决好他们的基础知识和基本技能，然后循序渐进，登堂入室.在基础条件不具备的情况下，“一题多解”先缓一缓也未尝不可.虽然我们一贯强调面向全体却无法使所有的学生齐头并进，但我们必须面向绝大多数学生——以获得复习效益的最大化.

高效原则2时机要恰当.一题多解教学要在学生对有关的知识和技能熟练掌握的基础上进行.如果学生对有关的知识和技能没有熟练掌握，就谈不上灵活运用，就谈不上纵向、横向联系，也就不能进行一题多解.所以，一题多解教学一般应在学生对某一部分知识或某几部分知识熟练掌握的时候，在综合练习时进行.学生对基础知识掌握得越深刻，越透彻，基本技能越娴熟，越灵活，就越能够进行一题多解，上这种课就越能收到好的效果.

高效原则3选题要得当.选题得当是学生一题多解的前提条件.它既要能够一题多解，又要顾及班上差生、好生的具体情况，使差生想想也能找出几种解法，使好生也有用武之地.

常见误区二忽视学生主体.学生面对一道例习题的多种解法，为什么会发出“想不到”“到底哪种解法好”的困惑?

高效原则4学生参与.开展一题多解的教学，首先要把各种解法的发言权彻底交给学生，让学生在主动参与、独立探索中充分暴露解决问题的思维过程.这样，学生解题过程中思维受阻的现象、典型错误、闪光点等会充分展示出来.接着，引导学生逐一剖析、交流、反思，让学生在激烈的多样化的思维碰撞中感悟各种解法的本质.最后，教师再有针对性的加以引导、点拨与评价，从而最大限度的促进每个学生的发展.这样的一题多解教学才是有效的.

常见误区三教师“启发”过多.过多的“启发”就会剥夺学生思维“长度”，甚至打断学生思维.

高效原则5还课于生.挤牙膏式的“启发”并不是真正的启发!并不能真正培养学生的思维.因为这样的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，不仅对培养学生的思维没有实质帮助，甚至连学生探求知识的热情也会扼杀.因此，教师在备课时一定要搞清楚的一个问题就是：“什么内容是非讲不可的?什么内容可以不讲?”

高效原则6适时静默、少讲多听多看.中国古代哲学认为治国的最高境界是“无为而治”，与此类比，我们的教学是否也可以“不教而学”呢?“练在讲之前”，只有在老师讲解之前学生已经深入地钻研了问题，他才能有“资本”与老师进行平等的对话、交流，他才能真正成为学习的主体.但学生思考练习时，教师要静默，不能用所谓的启发打断学生的思维，即使轮到自己讲时，也只能“讲在关键处”，一是以学生的学定老师的教，让学生得到真正的启发，而不是以教代学;二是确保能够腾出时间、空间让学生投入到问题的探究之中，让他们真正成为课堂学习的主人.

常见误区四忽视总结规律.在教学中，有些教师常常忽视了多解教学中的归纳概括，孤立地看待多解中的各种解法，从而使学生的思维滞留在感性阶段，不能产生质的飞跃.

高效原则7目的明确.不但一题多解，还要善于归纳：应该说，一题多解对于培养学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题，加深对教材和知识的理解，提高他们的学习能力是十分必要的.但一题多解的最终目的不是来展示有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解决，而是要寻找一种最佳、最近的途径，也就是说，掌握“一题多解”的最终目的是为了“一题一解”.不要胡乱堆砌，让学生惊叹于教师的高明之余却茫然于各种解法，而要突出解题分析和解题回顾，引导学生提炼数学思想方法，优化已有的解题习惯与方法.

高效原则8反思回顾.在学生了解多种解题方法之后，学生的解题思维不能到此完结，因为学生此时对各种解题方法的认识还不是非常深刻：几种解题方法是否完全正确，分析解题的过程是否都很恰当，哪些是一般的解法，哪些是创新的巧法，哪种最简便的解法等等，这些都要引导学生自己去进一步思维，进一步去认识.否则是对是错，是优是劣，是简是繁，学生都不知道，这样就不能达到提高学生解题能力的目的.只有通过引导学生自己对上述求得的各种解题方法进行逐一比较，展开热烈的讨论或争论，才能真正把握该题型的最简便的解题方法，才能进一步提高解答数学题的能力和效率.这一过程，就是一个继续思维的过程，也是一个对应用题的各种解法的再认识的过程.它是一题多解训练的一个不可忽视的环节.只有这样，学生遇到陌生的问题，便会迅速抓住各种方法的精神实质，迅速寻找到(或灵活变换)解题的切入点和突破口.

常见误区五忽视讲解顺序.若忽视讲解顺序，则各种解法之间容易造成学习心理学中的“前抑摄制”或“后摄抑制”.

高效原则9精心设计各种解法的“出场”顺序.若一开始就讲“非常简洁的巧法”，学生就对相对繁琐的通法没兴趣，因为很多学生都满足于一种解法，结果将通性通法冲淡了.反之，学生就会惊叹于巧法之简洁美.再将之对比，学生才恍然大悟：原来通法才是最重要的方法——它是“救命的稻草”.也因此而让我们在思考问题时，底气十足，没有任何心理负担.若一开始就讲“技巧性很强的巧法”，善于思考的学生就会就可能对其中的某些细节去冥思苦想，从而失去对后面解法的兴趣，这从心理学角度看，就是前面的学习对后面造成前摄抑制作用，此时，剩余解法的探究对这些学生就没有多大价值了.

常见误区六片面追求多解，冲淡通性通法.一题多解是培养学生解题能力以及发散性思维的好方法，但应把握度.其前提是必须考虑到学生的可接受性，全体学生在教学计划规定的时间内能够掌握的方法必须讲，而且要讲清讲透.某些入口窄、思路独特的方法、特殊技巧方法只适合个别优生学懂的，可少讲或在课堂上不讲.有些教师停留在对解法的盲目求多以及对解法数量的表面欣赏上，片面求多，甚至逢题必“多解”，这样泛滥成灾的“多解”往往会弄巧成拙.因为并不是所有的一题多解都能起到培养学生的发散性思维的作用.学生不同于科学家，学生真正能掌握的仅仅是一两种.

高效原则10适度原则.“一题多变”、“一题多解”是数学教学中实施创新教育的重要手段，它对于开拓学生思路，触类旁通，举一反三，具有重要的不可替代的作用.但有的教师似乎对此过于执着，言必谈“多变”，逢题必“多解”，甚至对某些比较简单的题目也化简为繁，变直为弯，思路怪异，钻入牛角尖.教师对某一命题的多解教学设计应按照教学目的发挥其内在的功能和作用，给出的任何一种方法都应重在揭示它所蕴含的基本数学思想和方法这些本质属性上，都应具有强烈的目的性，从而帮助学生提高数学素养，掌握学习方法.一题多解训练的具体方式方法是很多的，不能死搬硬套，人云亦云.要从实际出发，不能千题一律，堂堂如此.要根据班上学生学习的具体情况和实际教学需要，灵活选择教学方法.只有这样，才能调动全班学生的学习积极性，取得好的教学效果.

只要运用得当，“一题多解”教学可以使学生思路开阔，思维活跃，使学生大胆质疑，大胆创新，找到解决问题的多种途径和方法，对发展学生的思维，特别是创造性思维大有裨益.