区间数序列处理方法新探

彭作军，陈煜红

（1.重庆大学建设管理与房地产学院，重庆400045；2.重庆市空港新城管委会，重庆401120）

区间数序列处理方法新探

彭作军1，陈煜红2

（1.重庆大学建设管理与房地产学院，重庆400045；2.重庆市空港新城管委会，重庆401120）

区间估计是专家评价中的一种重要方法，目前对给定为区间数的决策方法研究较多，而对区间数的处理大多基于均匀分布或正态分布。文章针对这种对区间数序列的分析和处理方法研究的不足，提出了一种新的基于β分布的处理方法。该方法通过用β分布对区间数序列分布进行拟合，从而解决了对区间数序列难以进行分析和处理这一难点，并通过案例验证了该方法。结果表明，该方法原理正确，简便可靠，在决策管理中具有广泛的应用前景和普适性。

区间数；β分布；参数

0 引言

近二十多年来，多指标决策问题的决策理论、方法的研究取得了很大的发展，已成为决策科学、系统工程、管理科学和运筹学等学科研究中十分活跃的一个课题[1～5]。在实际问题决策过程中，对某一问题或目标的评价往往涉及很多指标。有些指标直接与数值有关，属于定量指标；有些指标不直接与数值有关，属于定性指标。评价原则一般要求定性分析与定量分析相结合，并且以定量分析为主。目前，对定量指标的分析方法已经相当成熟，而对定性指标分析的方法和处理，集中采取专家打分法对评价指标给出相应的评价数值。在专家评价中，专家凭借自己的经验、知识和预感进行评价或估计，其中运用较多并较典型的就是点估计[6～8]。该方法优点是操作简单，不足之处是精度不高，估计误差较大，所包含的信息量少，有时因为专家意见不一致，会与实际情况有较大出入。针对点估计的不足，目前较流行的处理方法是区间估计。区间估计的优点在于贴近实际，并符合人们认识事物的思维和判断习惯，适用范围广、精度高，包含相当丰富的信息，尤其对部分难以定量化的指标，给出适当的区间估计已经得到了专家们的高度认可。文献[9]、[10]将灰色关联分析方法推广到区间数环境，给出了区间数多属性决策的灰色关联分析法；文献[11]、[12]基于可能度法对区间数多属性决策进行排序；文献[13]提出了误差分析法；文献[14]提出了线性规划方法,文献[15]提出了层次分析法(AHP)等。上述文献分别从不同的角度对评价指标取值为区间数的多指标决策问题进行了研究，其研究主要是针对指标为区间数的决策方法。对区间数序列的处理目前大多是假定方案综合值的区间数服从均匀分布或正态分布的假定条件下给出的决策方法[11,12,16～19]，很显然，这不符合一般的情况，因为大多情况下众多专家对某一指标的区间估计一般不会服从均匀分布或正态分布，而恰恰是一种“偏峰”的情形。针对当前对区间数没有进行处理或对区间数的处理方法简单且所包含的信息量较少这一弊端。本文拟提出一种新的基于β分布的区间数序列处理方法，该方法将运用β分布覆盖从均匀分布到近似正态分布和各种不对称分布以及β分布随机变量的取值范围为有限闭区间等性质，通过X～β(a,b)的分布来拟合区间数序列分布；然后根据β分布的数字特征，最终得到反映大多数专家意见的众数。

1 区间数序列分析

设第i（i=1,2,…,n）个专家对某一指标给出的评价区间记为[则n个专家可得n个区间数，从而形成一个区间数序列[20]则n个区间序列叠加在一起形成覆盖在评价轴x上的一种分布，如图1所示。

从图1中可知，n个专家凭借自己的知识、经验和预感分别对某一指标进行区间估计打分，虽然n次打分的结果可能不会都落在某一区间，但大多数专家会相对集中在某一范围内，于是区间序列分布图中就会出现“单峰”，一般都是“偏峰”的情况。而β分布恰好对“偏峰”具有很强的拟合能力，因为它几乎覆盖了从均匀分布到近似正态分布和各种不对称分布，且β分布随机变量的取值范围为有限闭区间，故本文通过X～β(a,b)的分布来拟合区间数序列数据。

2 β分布及其特点

2.1 β分布的定义

若随机变量X的分布密度函数为：

2.2 β分布的特点

对于X～β(a,b)，其密度函数的形状可由参数a和b来控制，当a=b时，形状对称于均值x=0.5；当a≠b时，形状不对称，若ab，形状右偏；当a=b=1时，对应于均匀分布。其分布的形状如图2所示[21]。其众数为：

3 分布参数的确定

从β分布的特点可知，它对区间数序列数据具有很强的建模能力，特别是对“偏锋”分布的情形，而众多专家区间估计大多数是这种“偏锋”分布情况。为了通过已有的区间数数据拟合β分布，则求解参数a和b就成为了问题的关键，笔者通过迭代方法来确定参数a和b，其迭代步骤如下[22]：

(1)计算样本均值和方差

令：Y1=z1(min)，Y2n=z2(max)，Y1≤Y2≤…≤Y2n。

式中：

(4)计算a，b的初始值

(5)计算d的新估计值d赞

4 β分布参数a、b的检验

根据样本数据求得参数a、b后，需要检验样本是否服从Z～β(a,b)，现运用拟合优度检定法来检验随机变量Z是否服从β分布，该方法是用来检验事件出现的理论频数同经验频数之间差异显著程度的一个方法。若统计量[24]：

则认为随机变量Z服从β(a,b)分布。其中为实际频数，有：

5 算例

取ε=1x10-6,经过迭代计算，在求得甲、乙各指标β分布参数a、b后,通过式（2）检验，所有指标均服从β分布，按式（1）求得其众数。各指标最终计算结果如表2所示。

根据F=wixPi计算可得甲、乙综合评价值分别为0.796和0.815，于是开发商选择乙设计院的设计方案。

表1 甲、乙各定性指标原始评分表

表2 甲、乙各指标计算结果表

6 结论

区间估计是专家评价中的一种重要方法，本文运用β分布诸多优良性质对区间序列分布进行拟合，例如，β分布覆盖了从近似均匀分布到各种不对称分布、尤其对于“偏锋”分布具有很强的建模能力以及随机变量的取值范围为有限闭区间等性质，从而解决了对区间数序列难以进行分析和处理这一难点。在决策过程中，只需要根据区间样本序列计算出β分布的形状参数a和b，则可以根据β分布的数字特征求得决策所需要的综合评价值。本文给出的方法对指标的取值可以为精确实数,也可以为区间数；对权重的取值可以为精确实数，也可以为区间数，甚至适用于部分指标取值为区间数。部分指标取值为确定值的混合多指标决策问题。因此，该方法在实践中具有广泛的应用前景和普适性。

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（责任编辑/亦民）

C934

A

1002－6487（2011）06－0038-03

彭作军（1971-），男，重庆人，博士，研究方向：建筑经济与房地产。

陈煜红（1979-），男，贵州人，博士，研究方向：城市规划系统工程。