几类变权强化缓冲算子的构造方法

袁丽君，姚天祥

（南京信息工程大学经济管理学院，南京210044）

几类变权强化缓冲算子的构造方法

袁丽君，姚天祥

（南京信息工程大学经济管理学院，南京210044）

文章基于冲击扰动系统的概念，引入了变权强化算子，以便于控制缓冲算子的作用强度；讨论了缓冲算子的内部关系，发现了缓冲算子大小与作用强度的关系并证明其正确性，解决了传统缓冲算子作用强度过强或者过弱的问题，也解决了当系统行为数据序列前一部分增长（衰减）过慢后一部分增长（衰减）过快时定性分析与定量预测不符的问题；最后通过实例证明了缓冲算子的有效性和实用性。

缓冲算子；强化算子；灰色模型；GM（1，1）模型；变权缓冲

0 引言

在科学预测过程中，定量研究结果与定性分析预测会出现出入很大的情况，而这些情况的发生并不是在于模型的优劣，而是由于系统本身受到某些冲击波的干扰而使系统行为数据失真。通常，冲击扰动因素对数据序列的干扰可分为两类：第一类是加快数据的发展趋势或使数据序列的振荡变幅度变大；第二类是减缓数据的发展趋势或使数据序列的振荡变幅度变小[3]。一旦通过某种方式寻找出系统行为数据的内在规律，就能成功解决定量研究结果与定性分析预测出入很大的问题。灰色系统通过对原始数据的挖掘、整理来寻求其变化规律，这种就数据寻找数据的现实规律的途径被称为灰色序列生成[2]。通过灰色序列的生成弱化系统行为数据的随机性，得出规律性的数据。

刘思峰在文献[1]提出预测陷阱的概念、缓冲算子的特性及公理系统，并构造了两类缓冲算子。文献[4]在原有的缓冲算子的基础上利用反向累积和的概念构造了一类新的弱化算子，并讨论缓冲算子之间的相互关系及其性质，并用实例数据验证了缓冲算子的有效性和实用性。文献[5]将变权思想引入了缓冲算子，并利用遗传算法探讨了该类算子的优化问题。文献[6]在原有的缓冲算子的基础上将缓冲算子与函数联系起来，从而为缓冲算子开辟了新的方向。文献[7]提出了一类新的弱化缓冲算子，从而解决了系统行为序列前一部分增长（衰减）过快后一部分增长（衰减）过慢的问题。文献[8]中利用单调函数构建了弱化缓冲算子，解决了定量预测与定性分析不符的问题。文献[9]则对以往的缓冲算子进行研究，得出了相关结论。本文将基于冲击扰动系统的概念，引入变权强化算子，并讨论其内部关系，分析缓冲算子大小与作用强度的关系，以期解决传统缓冲算子作用强度过强或者过弱的问题，和当系统行为数据序列前一部分增长（衰减）过慢后一部分增长（衰减）过快时定性分析与定量预测不符的问题。

1 基本概念

公理1[10](不动点公理)设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则D满足

x（n）d=x(n)

不动点公理限定系统行为数据序列在序列算子的作用下，系统行为数据序列中的最新信息x(n)保持不变，即运用序列算子对系统行为数据进行作用，不改变最新信息x(n)这一即成事实[2]。

公理2[10](信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每个数据x(k)(k=1，2，…，n)都应充分地参与算子作用的全过程。

信息充分利用公理限定序列算子都应以现有数据序列中的信息为基础进行构造，不能抛开原始数据序列另搞一套[2]。

公理3[10](解析化、规范化公理)任意x(k)(k=1，2，…，n)都可由统一的初等解析式表达。

公理4[2]（单调性不变公理）设X为系统行为数据序列，X经序列算子D作用后所得数据序列为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则序列XD与序列X的单调性必须保持一致。

单调性不变公理限定系统行为数据序列在序列算子的作用下，其单调性不能改变，否则将出现与实际意义相矛盾的情况[2]。

满足上述四个公理的序列算子D成为缓冲算子，XD称为缓冲算子作用序列。

定义1[2]设系统行为数据序列为X=(x(1)，x(2)，…，x(n)d)，

（2）令M=max{x(k)k=1，2，…，n}，m=min{x(k)|k=1，2，…，n}，称M-m为振荡序列X的振幅。

定义2[2]设系统行为数据序列为X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，r(k)为数据序列X中x(k)到x(n)的平均变化率；D为作用于X的缓冲算子，X经缓冲算子D作用后所得数据序列为XD={x (1)，x(2)d，…，x(n)d}，则称

为缓冲算子D在k点的调节度。

调节度反映了缓冲算子对原始序列的作用强度。

2 变权强化缓冲算子

2.1 变权强化缓冲算子的构造

定理1设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，t为权重，0≤t≤1。其中

D1不论X为单调增长序列，单调衰减序列或者振荡序列时都为强化缓冲算子。

定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t为权重，0

则D2不论X为单调增长序列，单调衰减序列或者振荡序列时都为强化缓冲算子。

证明略。

定理3 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，t为权重，0≤t<1。其中

则D3不论X为单调增长序列，单调衰减序列或者振荡序列时都为强化缓冲算子。

证明略。

定理4 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0（k=1，2，…，n），令XD4=（x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4），t为权重，0≤t<1。其中

则D4不论X为单调增长序列，单调衰减序列或者振荡序列时都为强化缓冲算子。

证明略。

定理5 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，XD2= (x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t为权重，0≤t<1。可得

证明略。

定理6 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…x(n) d3)，XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4)，t为权重，0≤t<1。可得

证明略。

定理7 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，x(k)为单调增长序列或者单调衰减序列，令XDi=(x(1)di，x(2)di，…，x(n)di)，令XDj=(x(1)dj，x(2)dj，…，x (n)dj)，并且δi(k)，δj(k)分别为Di，Dj在x(k)上的调节度（δ(k)代表缓冲算子对系统行为数据序列调节度，即越大，缓冲算子对数据序列的调节度δ(k)越大，也就是对数据序列的改变就也大），有

（1）当Di、Dj都为强化缓冲算子时

（2）当Di、Dj都为弱化缓冲算子时

即当为强化缓冲算子时，缓冲后的数值越大，缓冲算子调节度越小；当为弱化缓冲算子时，缓冲后的数值越大，缓冲算子调节度也越大。

证明略。

定理8 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，XD2=(x (1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t为权重，0≤t<1。

XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n) d4)，可得

δ3(k)≥δ4(k)；δ1(k)≥δ2(k)

证明略。

不论X为单调增长序列，单调衰减序列或者振荡序列，D1、D2、D3、D4都为强化缓冲算子，则当系统行为数据序列前一部分增长过缓而后一部分增长过快时，D1、D2、D3、D4中任一一个缓冲算子可作用于序列，对序列的数据进行强化缓冲，从而减少冲击扰动系统对原始数据的干扰。但如果强化的程度不够的话，则可调节度比较大的强化缓冲算子或者采用多阶算子对其进行强化，从而提高预测进度，还原数据。

2.2 变权强化缓冲算子的应用实例

本文以用品类零售总额[11]为例来说明变权强化缓冲算子在预测过程中的作用。选取2001～2008年用品类零售总额作为原始数据，如表1。

由表1可计算出用品类零售总额增长速度分别为9.75%，11.10%，9.88%，11.30%，12.84%，14.65%，17.71%。2005年以前的增长速度明显慢于后面数据的增长速度。如果直接对其建模，必然导致预测的误差率很高。为了及时准确地把握用品类零售总额的增长趋势，对以后的用品类零售总额能够进行合理的预测，就必须对前面缓慢增长的数据加以处理，使其符合2005年后的发展趋势，在此基础上进行合理预测。

下面分别运用强化缓冲算子D1、D2、D3、D4作用于2001～2007年的数据，建立GM（1，1）模型，模拟2008年食品类零售总额，并与原始数据得到的预测数据进行对比，从而说明缓冲算子的有效性和优越性。

表1 用品类零售总额

表2 误差对比表

（1）以原始数据直接建模，得GM（1，1）模型的时间响应式为：作用于2001～2007年的数据得

XD1=(560.29，661.85，799.83，944.27，1140.60，1411.47，1796.05)

得GM（1，1）模型的时间响应式：

x赞(k+1)=2801.500996e0.203313k-2241.212292

XD2=(562.63，664.09，801.92，946.09，1141.98，1412.23，1796.05)

得GM（1，1）模型的时间响应式：

XD3=(571.06，671.34，807.82，950.32，1144.44，1413.06，1796.05)

得GM（1，1）模型的时间响应式：

x(k+1)=2877.922092e0.200682k-2306.85913

XD4=(574.44，674.40，810.50，952.52，1146.03，1413.88 1796.05)

得GM（1，1）模型的时间响应式：

x(k+1)=2904.287202e0.199806k-2329.846984

由表2的对比结果可以看出，在无缓冲算子作用于系统序列直接进行建模，2008年的用品类零售总额与实际值之间仍有比达差距；在D1、D2缓冲算子的作用下，再次进行建模，预测结果已经得到了相应的改善。在表2中得出D3、D4缓冲之后预测结果提高了很大一部分。由此可以看出，经过强化算子对原数据处理后使得预测精度明显提高。因此，当系统行为数据前部分增长（衰减）相比后一部分增长（衰减）过慢时，可以采用此些强化算子对原数据进行强化。如果D2的强化程度不够，则可改用D1，D3、D4；同样，如果对数据要再强化，可以采用多阶的缓冲算子理论。但四种强化算子往往使用于单调增长或单调衰减序列。

3 结语

本文主要研究了缓冲算子及其相关应用，该缓冲算子的作用主要是对数据进行预处理，平滑整个数据的曲线，提高对以后数据的预测精度。虽然有些数据离乱，但只要整个数据存在着整体功能，则必然存在着某种规律。一旦寻找通过某种方式寻找出系统行为数据的内在规律，就能成功解决定量研究结果与定性分析预测出入很大的问题。此时就可以通过缓冲算子的作用对原本离乱的数据进行缓冲，从而解决定性分析与定量预测不符的问题。本文在原有研究的基础上，重新构造了变权强化缓冲算子，解决了数据序列前一部分增长（衰减）速度过缓而后一部分增长（衰减）速度过快的问题，但变权强化缓冲算子往往也只能适用于单调增长序列或者单调衰减序列。这些缓冲算子虽然有其局限性，但对其适用范围内的数据缓冲后的预测精度都大幅度提高，从而也验证了缓冲算子的有效性和实用性，并发现了缓冲算子大小与调节度的关系（系统行为数据为单调增长序列或者单调衰减序列）：当为强化缓冲算子时，缓冲算子越大，调节度越小；当为弱化缓冲算子时，缓冲算子越大，调节度也越大。缓冲算子理论经过这么多年的发展已经在很多领域得到应用。但缓冲算子本身存在着一定的局限性，虽然在缓冲算子的证明中是所有的单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列都可以应用缓冲算子，但往往只有在单调增长序列和单调衰减序列中的应用得到较好的结果。所以缓冲算子的发展还存在很大的空间。

[1]刘思峰等.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子[J].华中理工大学学报,1997,25(1).

[2]王正新，党耀国，刘思峰.变权缓冲算子及缓冲算子公理的补充[J].系统工程，2009，27（1）.

[3]崔杰，党耀国等.一类新的弱化缓冲算子的构造及其应用[J].控制与决策，2008，23（7）.

[4]吴正朋，刘思峰，米传民等.基于反向累积法的弱化缓冲算子序列研究[J].中国管理科学,2009,17(3).

[5]王正新，党耀国，刘思峰.变权缓冲算子及其作用强度的研究[J].控制与决策，2009，24（8）.

[6]吴正朋，刘思峰，米传民等.基于单调函数的若干实用强化缓冲算子的构造[J].系统工程，2009，27（5）.

[7]Yao-guo Dang,Jie Cui,Xue-mei Li,Chuanmin Mi.Construction of New Weakening Buffer Operators Based on New Information and Their Applications[C].Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Systems,Man and Cybernetics,2009.

[8]Zheng-pengWu,Si-fengLiu,Chuan-minMi.ANoteonthe Sequence of Weakening Beffer Operator[C].Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Systems,Man and Cybernetics,2009.

[9]Ke Zhang,ZhengpengWu,ChuanminMi,JianlingWang.Studyon theSequenceofWeakeningBufferOperatorBasedonOld Weakening Buffer Operator[J].Journal of Grey System，2008，（3）.

[10]关叶青，刘思峰.强化缓冲算子序列与多阶算子的作用[J].统计与决策，2007.

[11]上海统计局.上海统计年鉴[M].北京：中国统计出版社，2009.

（责任编辑/亦民）

N941.5

A

1002-6487（2011）06-0045-03

教育部人文社会科学研究青年项目(09YJC630129)；江苏省高校哲学社会科学基金资助项目(09SJD630059)

姚天祥（1971－），男，河南新蔡人，博士，研究方向：灰色系统理论。