系统数学模型的实验求法*

何晓红

衢州广播电视大学 浙江衢州 324000

系统数学模型的实验求法*

何晓红

衢州广播电视大学 浙江衢州 324000

实验教学是控制理论课的重要环节，尽管现在有各种各样先进的教学手段、仿真实验软件，但实验教学不可以完全脱离硬件实验，不能重“软”轻“硬”，而应“软”“硬”兼顾，这样对学生科研能力的培养才会有事半功倍的效果。提出一种新的控制理论实验，并详细介绍其实现的全过程，对提高学生学习控制理论的兴趣，增强学生的动手创新能力进行有益的尝试。

控制理论实验；传递函数；频率特性法；创新能力

1 前言

在实际控制系统的研究中，多数都要知道其数学模型，比如它的微分方程、状态空间方程等。教科书中是利用物理定理来推导实际系统模型。例如，对一个机电系统而言，它的运行受机械定律（牛顿定律）和电子定律（基尔霍夫等定律）控制，可以根据物理定律来推导出其数学模型。但这些数学模型都是纯理论的推导，大多数学生对其物理意义没有认识，导致他们觉得控制理论抽象、难学、难懂，学了也没法用，而且目前全国各高校对此内容都没有实验来加深对其理解，因此有必要将此内容作为选作实验，以补充理论课的不足。

2 实验阐述

2.1 实验目的

掌握频率特性法的原理，结合一具体系统，采用实验的方法来直接推导其数学模型。

2.2 实验原理及其过程

用实验的方法，求取系统传递函数，一般是对系统施加一定的输入信号（正弦信号、脉冲信号、方波信号等），测出系统的输出信号，借助计算机进行数据处理，从而获取系统的传递函数。频率特性法的优点在于，它可以通过简单的频率响应实验，确定被控对象的传递函数。频率特性能较准确地反映被测系统的动态特性，这是因为测试频率特性时，被测系统施加一种稳态正弦信号，系统处在稳态。因此，外来随机干扰对测试结果的影响比测试时域响应时小得多。此外，对于最小相位系统，在未知系统的传递函数的情况下，在感兴趣的频率范围内足够多的频率上测量出幅值比和相位移，就可以据此画出波德图。利用渐近线可以确定传递函数。作出的渐近对数幅值曲线由若干线段组成。通过对转角频率的一些试探处理，通常可以求出很满意的渐近曲线，即可求出具有一定精度的传递函数。

采用输入输出曲线直接记录法，其测试框图如图1所示。正弦信号发生器每固定一个角频率ω，待输出稳定后，即可以在双线示波器上获得一组输入输出曲线。其中输出曲线常夹杂干扰，但是峰值比还是容易确定的。测量幅频特性时，一般为了读取方便，输入和输出的幅值均取其峰值。另外，幅值的精确测量比相移的精确测量容易。

实验系统是一模型汽车，其主要部件有机构、直流驱动电机、传感器、8098单片机、功率放大器等。

对实验系统（模型汽车）而言，具有线性和不随时间变化的特性。提出线性常系数微分方程形式的系统模型是合理的。等价地，它可用传递函数P(s)的形式给出：

图1 系统数学模型测试图

?

其中：a、b、k为待定的未知系数，x(t)是模型汽车相应的位置，v(t)是直流电机上的电压。

运用频率响应的方法，获得表1。

其中输入信号为幅值为5v、角频率为ωi（1≤i≤17）的正弦信号。根据表1实验数据作出波德图，如图2所示。据此可得传递函数模型的结构为：P(s)＝kss+a。

图2 模型汽车实验数据的波德图

通过实验和误差校正，确定适合于实验数据的k和a的数值。选择k=50，a=3.8。

图3是包含所有频率下20log(∣P(jω)∣)相对ω的曲线（点划线），它和相应的实验数据（实线）相重合。

图3 实验数据和系统模型

上述构造系统模型的方法和教科书中看到的完全不同，因为在这个过程中，没有为获得模型而写下任何物理定律，当然，系统在运行时要遵循这些定律。显然，这个模型是近似的，但如果利用直接基于物理定律的方法时，同样也需要近似的。（注意：这里在获取模型汽车的传递函数时，为了突出频率响应的实验方法，未考虑直流电机有死区。）

模型汽车的线性传递函数：P(s)=50/s(s+3.8)。

相应的线性微分方程模型：

2.3 实验注意事项

1）由于被测系统具有某些非线性因素，必须适当选择输入正弦信号的幅度。如果输入信号太大，会引出输出信号饱和；输入信号太小，也会由于死区而引入误差。这可通过检查输出信号是否接近正弦波形来考虑输入信号的大小。

2）用来测量系统输出的测量设备的频率响应，应当具有比较平坦的幅频曲线。

3）须提供适当的正弦信号发生器，对于大时间常数系统，实验时所需要的频率范围约为0.001~10 Hz；对于小时间常数系统，约为0.1~1 000 Hz。正弦信号必须没有谐波或波形畸变。

4）在画波德图时对所用的频率以周/秒而不是弧度/秒为单位，在计算时间常数之前，必须将转角频率的单位转化为弧度/秒。

3 结束语

控制理论课是一门理论性很强的课程，尽管现在有各种各样先进的教学手段、仿真实验软件，但实验教学不可以完全脱离硬件实验，不能重“软”轻“硬”，而应“软”“硬”兼顾，这样才会有事半功倍的效果。频率响应实验法获取实际系统传递函数，既加深对课程内容的理解，同时是理论联系实际的一次良好实践，促使控制理论实验由单一型、验证型向综合型、设计型转变，增加学生学习控制理论的兴趣，增强学生的动手创新能力。

[1]曹锦芳.控制理论实验[M].杭州:浙江大学出版社,1993

[2]特费斯.自动控制反馈的力量:使用MATLAB[M].曹秉刚,白志峰,译.西安:西安交通大学出版社,2002

[3]Ogata.现代控制工程[M].3版.卢伯英,于海勋,等,译.北京:电子工业出版社,2000:528-531

Automatic control theory is an engineering discipline which lays emphasis on theory.Experiment is an important practical teaching joint in the cultivation of qualified personnel.This paper introduced a new kind of experiment for control theory in detail.

control theory experiment; transfer function; frequency responses; innovation ability

G424.31

B

1671-489X(2011)21-0118-02

10.3969 /j.issn.1671-489X.2011.21.118

Experimental Solve about System Transfer Function//He Xiaohong

Author’s address Quzhou TV University, Quzhou, Zhejiang, China 324000

*2009年度衢州市科技计划项目（立项号：20091112）。

作者：何晓红，中学高级，主要从事数控、机电及其自动控制专业数学教学。