最高阶元素个数为28p的有限群

张庆亮，张贤杰

(南通大学 理学院，江苏 南通 226007)

本文讨论的群均为有限群，所使用的符号及术语是标准的[1].π(G)表示群G的元素阶的集合，用π(G)=π(|G|)表示G的素因子的集合，Mt(G)是G的t阶元素的集合，M(G)=Mk(G),k为元素的最高阶.Pr(G)是G的一个r-Sylow子群，r∈π(G),φ(x)为欧拉函数.有限群G1和G2称为同阶型群，如果Mt(G1)=Mt(G2),t=1,2,3,….

Thompson问题：设G1与G2为同阶型群，若G1可解，则G2是否必可解？文献[1-5]研讨了最高阶(k阶)元素的个数|M(G)|对有限群的影响，证明了当|M(G)| = 2,2l+1,2p,2p2(p素数)，φ(k)或|M(G)|<20时，G为可解群，显然同阶型群最高阶元素的个数相同，因此文献[1-5]的研究有利于Thompson问题的解决.本文继续上述工作，研究了群G的最高阶元素的个数|M(G)|对群的影响，得到了如下定理：

定理1 若|M(G)|=28p(p>5素数)，且G无合成因子同构于L2(7)，则G是可解群.

1 一些引理

本文中需要下列引理：

引理1[1]设G是一有限群，k为G的元素的最高阶，M(G)={x∈G||x|=k}.令Ki(1≤i≤s)是G中k阶循环子群共轭类的一个完全代表系，并且设Ki所在共轭类的轨道长为ni=|G∶NG(Ki)|.于是有|M(G)|=φ(k)∑ni,φ是欧拉函数.

引理2 设x=p1a1…pnan是自然数x的标准素因子分解，则x的欧拉函数值为φ(x)=Π(pi-1)piai-1.

引理3[3]方程φ(x)=2p(p素数)的解x为：(i)当p=2时，x=5,8,10,12;(ii)当p=3时，x=7,9,14,18;(iii)当p≥5时，若9=2p+1为素数，则方程φ(x)=2p有两个解：x=g,2g;若g=2p+1不是素数，则方程φ(x)=2p无解.

引理4[1]若|M(G)|=φ(k)(即n=1时)，G为超可解群.

引理5[6]G是单K3群，则G只能同构于下列单群之一：

A5(阶为22·3·5),A6(阶为23·32·5),L2(7)(阶为22·3·7),L2(8)(阶为23·32·7),L2(17)(阶为24·32·17),L3(3)(阶为24·34·13),U3(3)(阶为25·33·7),U4(2)(阶为26·34·5).

引理6[7]见文献[7]中的定理引理2.

引理7[8]若k为素数，则k|m+1.

引理8[8]存在正整数α，使得|G||m·kα.

2 定理1的证明

定理1 若|M(G)|=28p(p>5素数)，且G无合成因子同构于L2(7)，则G是可解群.

证明由引理1以及引理2, 3知有以下几种情况：

1)若|M(G)|=28p,n=1，则G是可解群，由引理4可得.

2)不存在有限群G，使得|M(G)|=28p,n=28p.当n=28p时，由引理3,k=2,从而此时G为初等交换2-群，故|M(G)|为奇数，矛盾，所以命题成立.

3)|M(G)|=28p,n=2时，则G是可解群.

设a是G的最高阶元，a=k，则有：

|G|=|G∶NG()||NG()∶CG()||CG()|，因为：

又因为|a|=k，可得π(CG())=π(|a|) =π(k).由Sylow定理，k≠q，所以k=2q，从而CG()是{2,q}-群，所以可解.

4)若|M(G)|=28p，n=14时，G是可解群.

设a是G的最高阶元，a=k，则有：

|G|=|G∶NG()||NG()∶CG()||CG()|

(1)

5)若|M(G)|=28p,n=p时，则G是可解群.

若k=29，由引理7，则29|28p+1，此与(29,28p+1)=1相矛盾.所以k=58.由引理8,|G||22·7·p·58α，若|π(G)|=3，则G可解.所以不妨设|G|=2β·7·p·29γ.由引理5,G不可能由合成因子同构于K3-单群，再由引理6,G不可能有合成因子同构于K4-单群，所以G可解.

6)若|M(G)|=28p,n=7时，则G是可解群.

7)若|M(G)|=28p,n=14p时，则G是可解群.

若k=3，则G为{2,3}-群，从而由paqb定理，G可解.若k=4，同理可证.若k=6，则π(G)⊆{2,3,7,p}.若否，取h∈π(G)-{2,3,7,p}，于是h|ni，从而h||M(G)|=28p，矛盾.所以π(G)⊆{2,3,7,p}.又因为k=6,p>5，所以π(G) ⊆{2,3},从而可解.

8)若|M(G)|=28p,n=7p时，则G是可解群.

设a是G的最高阶元，a=k，则有：

|G|=|G：NG()||NG()：CG()||CG()|

(2)

由定理1可得Thompson问题成立的一个条件，即：设G与M是同阶型群，如果G是最高阶元素的个数为28p的有限群，其中素数p>5，且G无合成因子同构于L2(7)，则M可解.

[1] 杨成.最高阶元素个数不同的有限群[J].数学年刊，1993,14(A):561-567.

[2] 姜友谊.最高阶元素个数为2P2的有限群是可解群[J].数学年刊，2000,21(A):61-64.

[3] 杜祥林，姜友谊.最高阶元素个数为4P的有限群[J].数学年刊，2004,25A(5):607-612.

[4] 姜友谊.最高阶元素个数小于20的有限群是可解群[J].西南师范大学学报:自然科学版，1998,23(4):379-384.

[5] 姜友谊.关于欧拉函数方程φ(x)=m的解[J].重庆工业管理学院学报，1998,12(5):91-94.

[6] 施武杰.关于单K3-群[J].西南师范大学学报,1988,13(3):1-4.

[7] 施武杰.关于单K4-群[J].科学通报,1991,36(17):1281-1283.

[8] Guiyun Chen,Wujie Shi.Finite groups with 30 element of maximal order[J].Appl Categor Struct,2008,16:239-247.