处处连续但处处不可导函数的构造方法

刘雁鸣

(武汉工程大学 理学院，湖北 武汉 430074)

在微积分诞生后，应用导数研究函数的性态成为可能.数学家们发现初等函数在其定义区间上都是连续的，但函数在连续点处却不一定可导.由此数学家们猜想连续函数在其定义域上，除去至多可数个点外都是可导的.直到十九世纪初，数学家们仍在致力于证明这一猜想.数学家Weierstrass在1872年利用函数项级数第一个构造出了处处连续但处处不可导的函数(后人称之为Weierstrass函数)[1-3]：

虽然对上述猜想给出了否定的回答.但是Weierstrass给出的这个函数，其处处连续但却处处不可导的性质的证明较为复杂[2-4].1930年，荷兰数学家Van der Waerden给出了另外一个例子，虽然这个例子仍然采用了Weierstrass的思想方法，但它的证明确比较简单[5-6].美国数学家Bush在1952年也给出了直接构造处处连续但处处不可导函数的例子[7].

本文在仔细研究前人工作的基础上，推广了用级数构造处处连续但处处不可导函数的方法，以及用定义函数构造处处连续但处处不可导的方法.本文分为三部分，第二部分给出了级数构造处处连续但处处不可导函数的方法及其证明，推广了Van der Waerden的方法；第三部分给出了直接定义函数构造处处连续但处处不可导函数的方法及其证明，推广了Bush的方法.

1 运用级数构造处处连续但处处不可导函数

Van der Waerden给出的例子为：

下面给出一般地构造处处连续但处处不可导函数的方法.

现考虑函数F(x)在任意一点x的可导性.由于F(x)的周期性，不妨设0

当n≥m时，ψ(an(x+hm))=ψ(anx+anhm)=ψ(anx±an-m)=ψ(anx)，上式第二项为零.所以：

当n=0,1,2,…,m-1时，在anx的表示中am的位置是第m-n位小数，anx=a1a2…an·an+1an+2…am…，an(x+hm)=a1a2…an·an+1an+2…(am±1)….

ψ(an(x+hm))-ψ(anx)=±lanhm.

2 直接定义函数构造处处连续但处处不可导函数

设a为大于3的正整数，x是区间[0,1]上的任意实数.将x表示为a进制小数.

(1)

其中xk在集合{0,1,2,…,a-1}中取值.如果x为有限小数，则在后面添上无穷多个零.

又设b=a-1，利用b进制小数定义函数S(x)如下：

(2)

其中：y1=1，当k>1时，yk=0或者1.具体如下：

首先，函数S(x)的定义是合理的.尽管某些a进制小数x可能有两种表示法，比如：

是x的两种a进制小数表示，规定只取第一种形式的表示.这样对于给定的x，函数S(x)是唯一确定的.

这样就证明了函数S(x)在点x处右连续.同理可证函数S(x)在点x处左连续.这样就证明了S(x)是在[0,1]上连续函数.

最后，证明S(x)是在[0,1]上处处不可导.设x是区间[0,1]上的任意实数，的a进制小数表示与S(x)的b进制表示分别为式(1)和式(2).构作数列{x(n)}使得x(n)∈[0,1]，其a进制小数表示为：

[1] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第2卷)[M].8版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] Falconer K J.Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications[M].John Wiley & Sons,1990.

[3] 黎姿.泛函分析讲义[M].北京：科学出版社，1963.

[4] Wen, Liu. A nowhere differentiable continuous function constructed by infinite products[J].Amer Math Monthly,2002,109(4):378-380.

[5] B L van der Waerden,Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferenzierbaren stetigen Funktion[J].Math Zeit,1930,32(1):474-475.

[6] Nanjundiah T S. The nowhere-differentiable continuous functions of Weierstrass and Van der Waerden[J].Math Student,2008,77(1/4):193-196.

[7] Bush K A. Continuous functions without derivatives[J].Amer Math,Monthly,1952,59:222-225.