Pell方程ax2-by2=1的最小解

杜先存 ，万 飞，赵金娥

(1.红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661100；2.红河学院 数学系，云南 蒙自 661100)

Pell方程x2-Dy2=1(D∈Z+，D不是完全平方数)的正整数解及整数解的解集已被许多学者研究过，而广义Pell方程ax2-by2=1(a,b∈Z+,a>1,ab为非平方的正整数)的正整数解及整数解完全取决于系数a,b,当a≠1时，方程的解是一个较为复杂的问题.文献[1-2]研究了Pell方程ax2-by2=1的整数解的解集，文献[3-4]研究了Pell方程ax2-by2=1中的一种的特殊情况，即4x2-py2=1(p为奇素数)，而方程ax2-by2=1的最小解目前很少有人研究,本文旨在运用连分数的知识讨论Pell方程ax2-by2=1(a,b∈Z+,a>1,ab为非平方的正整数)的最小解的求法.

1 预备知识

2 主要结论及证明

(1)

(2)

(3)

3 Pell方程ax2-by2=1(a,b∈Z+,a>1,ab为非平方的正整数)的最小解的求法

4 实例

例1 求Pell方程7x2-3y2=1的最小解.

解1 (利用定理1)

经计算有(p4,q4)=(2,3)是方程7x2-3y2=1的正整数解，显然(2,3)是方程7x2-3y2=1的最小解.

解2 (利用定理2)

先求Pell方程x2-21y2=1的最小解.

所以7x2-3y2=1的最小解为：(x1,y1)=(2,3).

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