两种非纯电阻电路的最大输出功率

王建豪 赵利通

(临城中学 河北 邢台 054300)

1 引言

纯电阻电路最大输出功率，可根据电源输出功率公式和闭合电路欧姆定律推出.具体推导如下.

基本模型：如图1所示的闭合电路中，电源的电动势为E，内阻为r，外电路电阻R为可变电阻，求当R为何值时电源有最大输出功率，最大输出功率为多少.

图1

推导：电源的输出功率就是可变电阻消耗的功

率.设电源的输出功率为P出，则有

P出=I2R

而由闭合电路欧姆定律知

两式联立得

电源的输出功率P出与外电阻R的函数关系可用如图2所示的图像定性地表示.

由上式及图像可得出以下结论:

(1)当R=r时，输出功率最大为

(2)当R

(3)当R>r时，P出随R的增大而减小.

图2

说明：上述情况都是在E和r不变的情况下适用.

而对非纯电阻电路,闭合电路欧姆定律不成立，那么,如何求解非纯电阻电路电源的最大输出功率呢？

2 电动机类非纯电阻电路中电源的最大输出功率

基本模型(以含有电动机类非纯电阻电路为

图3

例):如图3所示，内阻为R的直流电动机，接在电动势为E，内阻为r的直流电源上，电动机工作时(设其内阻可变)，求电源的最大输出功率.

推导：在含有非纯电阻用电器的闭合电路中，电动机工作时，电路中的电流设为I，这时

因为在外电路中，除了产生内能外还有机械能产生，电源提供的功率IE，一部分被电源消耗I2r，另一部分消耗在外电路上,即I2R+P机，根据能量守恒，有

IE=I2r+I2R+P机

即

得

所以

设电源输出功率为P，则

只能根据能量守恒按P=IE-I2r讨论. 此时，电源输出功率P与I的关系为二次函数，其函数关系图线如图4.

图4

由此可得

(2)电路有最大输出功率时，有

与纯电阻电路情况相同.

(3)由于

P出=UI>PR=I2R

即

UI>I2R

所以

即电路有最大输出功率时，r>R，与纯电阻电路不同.

图5

方法1：与纯电阻电路比较

图5(a)为纯电阻电路，当滑动变阻器R1=2 Ω时，R外=R1+R0=3Ω=r，所以，电源有最大输出功率并设为P1max,则

图5(b)尽管为非纯电阻电路，但其电源与5(a)电源相同，电源输出的最大功率与图5(a)相同,即

P2max=P1max=12 WI2=I1=2 A

此时电动机功率PM=6 W,则变阻器R2功率

P2=P2max-PMP2=6 W

又

所以

R2=1.5 Ω

电动机产生的热量

方法2：用推导结论

同样可得变阻器R2功率

P2=P2max-PMP2=6 W

又

所以

R2=1.5 Ω

电动机产生的热量

显然,方法2更简洁.

【例2】如图6所示，电源电动势E=12 V，内电阻r= 1 Ω，R2为保护电阻，阻值R2=2 Ω，电流表内阻不计.开关S闭合瞬间，流过电流表的电流为8 A，一段时间之后，电动机正常工作，此时电源输出功率最大，求电动机正常工作时，输出机械功率多大,电动机效率为多大.

分析：开关S闭合瞬间,电动机还没转动，可看做纯电阻电路

R并=R总-rR并==0.5 Ω

而

所以，电动机内阻

图6

电动机正常工作时，电路为非纯电阻，据非纯电阻电路电源输出最大功率条件,此时电源电流

又

U=E-I′rU=6 V

得通过R2的电流为

所以流过电动机电流

IM=I′-I2IM=3 A

电动机输入功率

PM=UIMPM=18 W

电动机热功率

电动机输出功率

P出=PM-PR1P出=12 W

电动机的效率为

3 变压器类非纯电阻电路中电源的最大输出功率

基本模型：如图7，交变电源的电动势为U，内阻为r，变压器原、副线圈电压分别为U1,U2，原、副线圈的电流分别为I1,I2，匝数分别为n1,n2，所接负载为滑动变阻器R.求电源的最大输出功率.

图7

推导：由变压器工作关系知

(1)

(2)

负载滑动变阻器电阻为

(3)

将图7中虚线框等效为负载电阻R′，则

将式(1)～(3)代入得

将等效负载视为电阻，则电路可简化为图8，等效为纯电阻电路，再结合纯电阻电路输出功率最大值的推导得

时，电源的输出功率最大,且最大值为

图8

【例3】如图9，交流信号源的电动势E=120 V，内阻R0=800 Ω，负载为扬声器，其等效电阻为RL=8 Ω .

图9

(1)当将负载直接与信号源连接时, 求信号源输出的电流及负载获得的功率.

(2)如图10，利用变压器使信号源输出最大功率，求变压器的匝数比、信号源输出的电流及负载获得的功率.

图10

(4)

又因为等效负载

(5)

联立式(4)、(5)得

结合推导中图8和闭合电路欧姆定律得信号源即电源电流

此时,电源有最大输出功率，且最大值为

而电源的输出功率为变压器的输入功率，可得变压器的输入功率P入=4.5 W，因为理想变压器输入功率与输出功率相等，得变压器的输出功率P出=4.5 W，变压器输出功率即为负载获得的功率，所以,负载获得功率

PL=P出=P入=Pmax=4.5 W

由上述运算还可知，接入变压器以后，信号源输出电流减小，而负载获得的输出功率大大提高.

小结：求解含有变压器电路的最大输出功率的思路为等效负载、变压比与闭合电路欧姆定律相结合.