一道变力做功问题两种方法的比较及分析

蔡莉莉

(华北科技学院基础部 北京 101601)

1 引言

功是物理学中非常重要又经常涉及的物理概念.无论是大学物理还是高中物理关于功的计算都是力学中的一个重点，就高中阶段而言，按考试说明和教学大纲要求，不仅要让学生正确理解功的物理意义，同时必须掌握功的计算方法.而高中物理课本中给出的功的计算公式W=Fscosθ仅适用于恒力做功的计算，对于变力做功的问题，由于中学生不具备微积分知识，因此,通常采用一些间接的方法，如图像法、平均力法、动能定理法、功能原理法[1].这些间接的方法并不适用于所有变力做功的问题，有的问题可能用这些方法结果正确，但是分析过程欠妥.大学物理中关于做功的计算往往涉及到变力做功，因而需要利用微积分的概念来分析，而刚刚接触大学物理的大一学生习惯用中学思维看待问题以及用中学物理的解题方法解决大学物理的问题，在某种程度上已形成思维定势，这样，必然会出现错误的解题方法.

以下我们通过具体实例来说明在处理变力做功问题中，这种思维定势带来的弊端.

2 问题分析

【例1】如图1所示，有一面积为50 m2的地下蓄水池，水深为1.5 m，水面至地面的距离为5 m，求将池中的水抽到地面需要做的功[2].

图1

解析：这是大学物理中变力做功的一道典型问题，在教学过程中发现很多学生利用功能原理求解，即A=ΔE.将全部水看成一个整体，水全部抽到地面时，动能没有变化，只看重心的变化，很明显当水全部抽到地面后重心上升了

Δh=5.75 m

故机械能的变化量为

ΔE=ΔEP=mgΔh

因此,水抽到地面需要做功为

A=mgΔh=ρShgΔh

代入数据得

A=4.2×106J

上述分析和求解过程被相当多的中学物理教师所认可，在网上搜索也可见到诸多类似的例题及相似的分析方法[3].如果该题放在中学物理中，只能采用功能原理来求解，但是,当我们在大学物理中,学完变力做功并具备微积分知识后，就可以按照大学物理的方法求解.这是一个标准变力做功问题，因为池中的水是一点点抽上去的，也就是说在抽水的过程中水的质量一直是变量，因此，最佳处理方法应该取微元，以下为正确解法.

正确解法： 以蓄水池底部为坐标原点，向上为x轴正向，离地面x处，取高度为dx的水作为微元，先计算将这一高度为dx的水抽到地面所做的元功为

dA=ρSg(h-x)dx

其中ρ为水的密度,S为面积，h为水池深度，则将全部水抽到地面做的总功为

其中h1为水深，代入数据得

A=4.2×106J

虽然利用功能原理和变力做功定义得出的结果相同，但是仔细分析发现两种解法的思维形式完全不同，功能原理认为抽水的过程水的质量保持不变，将水看作一整体，而用变力做功的定义恰恰与之相反.如果这种解法对于该题勉强可以接受的话，那么,我们如果将蓄水池的形状由矩形变为不规则形状，再用功能原理来求，会出现一个新的问题，水被抽到地面后重心的变化将是一个难题，而如果采用变力做功的定义则问题迎刃而解.

【例2】蓄水池为一个半球体,如图2，其他条件不变，深度(即半径)仍为6.5 m，水面距地面仍5 m，求将这池水吸到地面，需要做多少功？

图2

解析：按变力做功积分的方法，则与上题解法相同，仅元功对应的面积S稍作变化

S=π[R2-(R-x)2]

以蓄水池最低点为坐标原点，向上为x轴正向，离地面x处，取高度为dx的水作为微元，将这一高度为dx的水抽到地面所做的元功为

dA=ρSg(R-x)dx=

ρπ2Rx-x2g(R-x)dx

将全部水抽到地面做的功为

代入数据得

A=2.3×106J

通过上述实例的分析可见，解决变力做功的最佳途径还是结合高等数学的微积分来处理，这就要求教师在教学中要注重引导学生正确分析问题的方法，让学生尽可能快地抛弃中学教学中用功能原理求解变力做功的思维定势.

存在疑问的还有诸如下述问题，质量为2 kg的均匀链条长为2 m,自然堆放在光滑的水平面上,用力F竖直向上匀速提起此链条,已知提起链条的速度v=6 m/s,求该链条全部被提起时拉力所做的功.该问题的解决方法在中学中也常出现错误的解法，即用功能原理方法，当链条刚被全部提起时，重心升高了1 m，故机械能的变化量为

ΔE=ΔEP=mgΔh

代入数据得

A=19.6 J

因此，上提过程拉力做的功就等于机械能的增量

A=mgΔh

代入数据得

A=19.6 J

当我们在大学物理中给出了变力做功的定义形式后，发现这种做法存在问题，链条虽然做匀速运动，但却是依次从桌面被提起参与匀速运动，链条的质量在不断变化，动能也发生了变化，因此,认为链条动能不变是错误的.同时在链条运动过程中，链条间的张力在做功，即要考虑内力做功问题，因此,采用功能原理求解必须考虑内力做功，不能单纯看质心的变化.实际上类似的问题不应该放在中学物理习题中，它完全超出了中学物理的要求，只有在大学阶段学习了变力做功知识后方可求解[4].

3 结论

总之，大学物理课程是中学物理的延续、深化和拓展，和中学物理之间有很大的区别，中学物理课程中的知识多涉及特殊情况下的理想模型，例如,匀加速直线运动、恒力做功和变化的电磁场等.鉴于此，大学物理的学习要以高等数学为工具考虑问题，利用微积分和矢量等解决大学物理中的一般化问题.因此，在大学物理教学中教师要引导学生在处理问题时始终以定义为中心，这样思路简单、严谨，不易出错.

参考文献

1 孟蓝宏.变力做功的几种解题方法.物理教学，2009，31(2)：45～47

2 吴百诗.大学物理(上)(第三次修订本).西安：西安交通大学出版社，2008，62

3 李建华.变力做功问题归类例析.物理教学探讨，2007，25(10)：5～8

4 龚劲涛，冯文林.关于一道变力做功问题的错解分析.物理教师，2011，32(6)：12