金属管（杆）横驻波演示实验

路峻岭，王长江，秦联华

（清华大学物理系，北京100084）

1 引 言

金属管（杆）弯曲振动实验是一个有趣的演示实验，所用器材仅为1根薄壁钢管或铝杆和1个橡胶锤.实验者捏持住金属管（杆）中距管端0.224倍管长处，用橡胶锤敲击金属管（杆）的端点或中点，就能听到金属管（杆）发出清晰的声音.若捏持不变，手持橡胶锤敲击金属管（杆）上其他点，会听到金属管（杆）发出声音的音调和音色都有变化.若改变捏持点，敲击金属管端点或中点，也听到声音的音调和音色都有明显变化.若捏持0.224倍管长处敲击中点或端点，仔细聆听常常能听到拍音.若调整捏持0.224倍管长处的点的位置，有时可以只听到单一声音而听不到拍音.本文对实验中的各现象给出了解释，可以促进学生对驻波产生条件的理解.

2 金属管（杆）弯曲振动微分方程、边界条件及其求解

弯曲形变中，金属管（杆）内有一个平面保持无伸缩，称它为中面.设想金属管（杆）由许多和中面平行的矩形平片叠加而成.若处于中面以上的平片被拉伸，则处于中面以下的平片被压缩，反之亦然.如图1所示设金属管（杆）的轴向在x方向，弯曲方向在z方向.设元段ABCD形变为A′B′C′D′，其端面受正应力力矩作用，若端面倾斜角为φ，则该力矩，其中：IS为截面惯量矩，Y为杨氏模量.若是金属杆，则；若是金属管，则同时注意φ可用挠度w对x的导数来表示，考虑到元段端面切应力力矩应与正应力力矩平衡，可得元段所受的净力（沿z方向），再应用牛顿定律[1－2]即可得金属管（杆）弯曲振动的波动方程[3－5]

图1 金属管（杆）中的元段剖面图

其中：ρ为密度，β为阻尼常量，A0为横截面积.边界x＝0和x＝L端为自由端，端面上正应力力矩和切应力均为零，挠度函数w（x，t）需满足边界条件方程[4]

令w（x，t）＝X（x）T（t），可解得Tω（t）＝，关于X（x）的方程即为

由边界条件方程（2）知，欲其解不是零解，k必须满足方程ch（kL）cos（kL）＝1，该方程有无穷多个分立解.若把它的第n个解表示为βnπ，结果是β1＝1.505 62，β2＝2.499 75，βn≈（n＋0.5）（n＞2）.相应的k用kn表示，kn＝βnπ／L.由（3）式可得相应振动模式的固有频率为

对于金属杆，（5）式可变为

对于金属管，（5）式可变为

将kn代入边界条件方程可得Bn／An，加上归一化条件即可确定A0n，（3）式的基本解为

若令基频X1（x）＝0，可得基频驻波波节点x11＝0.224 157 52L，x12＝0.775 842 48L.

金属管（杆）的任一自由振动均可表示为各模式基本解的线性叠加，即

基本解Xn（x）又称振形函数，不同n的2个振形函数是相互正交[3].实验者手捏金属管（杆）和用锤敲击.捏持点将是振动能量的耗散点，捏持点为波节点的模式的振动能量将耗散得最慢.敲击点和敲击力度共同影响金属管（杆）的初始位移.因此捏持点和敲击位置、敲击力度及敲击（碰撞）时间共同影响着实验结果.设敲击引起的初始位移为

以Xm（x）乘以上式并在区间（0，L）进行积分，利用Xn（x）的正交归一性，可得

可见，哪一个模式的振形函数与敲击给出的初始位移覆盖得越多，（7）式的积分值就越大，该模式的振动就越显著.因此手持位置和敲击初位移一同起到选择振动模式的作用，改变手持位置和敲击初位移可以单独或共同改变所激发的模式，进而引起听到的声音的音调和音色发生改变.

3 对敲击金属管（杆）时出现拍音的解释

用手捏持距端点0.224L处且用橡胶锤敲击金属管（杆）的任一端点或中点，将使得基频模式振动得最为强烈，且时常听到拍音.

在推导元段端面正应力力矩时引入了截面惯量矩IS，它在数值上等于面密度为1的截面薄片绕中线的转动惯量.IS在式（5）式中也有所体现，说明刚体模型中的物理量影响着弯曲振动的结果.在实验中，金属管除沿长度方向的中轴作为1个主轴外，还有2个垂直于中轴的主轴，且这2个主轴相互正交.若金属管的结构是完全轴对称，则绕此两主轴转动的转动惯量相同.但实验中，绕此两正交主轴的转动惯量IS略有差别，使得2个偏振的基频模式的固有频率也略有差别，若对金属管的捏持点的连线平行于它的一个主轴，则沿另一个主轴方向敲击端点或中点将只激发在1个惯性主轴方向的弯曲振动，结果将只能听到1个频率的声音，否则2个偏振的基频模式都会被激发，这时就会听到拍音.若实验中听到了拍音，微微改变捏持点和敲击点的位置，再听听有无拍音，不断进行调整，就会发现在距端点0.224L的圆形截面圆周上存在两两互相成90°的4个点，相对捏持这样的点进行敲击就会听不到拍音而只有1种频率的声音了.

[1] 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程·力学[M].北京：高等教育出版社，1995：215－222.

[2] 张三慧.大学物理学·力学[M].北京：清华大学出版社，1999：65－75.

[3] 郭敦仁.数学物理方法[M].北京：人民教育出版社，1965：213－223，240－252.

[4] 王矜奉，姜祖桐，石瑞大.压电振动[M].北京：科学出版社，1989：42－70.

[5] 路峻岭.物理演示实验教程[M].北京：清华大学出版社，2005：192－197.