例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧

何美兰

证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。下面以一些例题来说明解答策略及规律。

一 三点定形法

利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。求证BE·AD＝BC·CD。

分析：要证BE·AD＝BC·CD，即 ＝ 。

横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不

同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比

中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个

△BEC，另一个比 中的线段CD、AD的三个不同的端点

也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。解决△BEC∽△DCA，这个过程成了整个问题的关键。

证明：连接AC。∵CE∥DB，∴∠BCE＝∠DBC。

∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BCE＝∠DAC。

∵∠CBE＝∠ADC，∴△BEC∽△DCA。

∴ ＝ ，即BE·AD＝BC·CD。

例2：如图2，设点D、E分别为△ABC的外接圆 、 的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G。求证：AF·AG＝DF·EG。

分析：要证AF·AG＝DF·EG，即 ＝ 。

横定：这个比例式的前项中的线段AF、DF它们有三个不同的端点，可以确定一个△ADF；竖定：这个比例式的后项中的线段EG、AG它们有三个不同的端点，可以确定一个△EAG，于是只要证明△ADF∽△EAG，这样，证明所需添加的辅助线AD、AE也就显示在眼前了。解决△ADF∽△EAG，这个过程成了整个问题的关键。

证明：如图2，联结AD、AE，∵D是 的中点。

∴ ，∴∠BAD＝∠AED。

同理可证∠ADE＝∠CAE。

∴△ADF∽△EAG；

∴ ＝ ；

∴AF·AG＝DF·EG。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

二 等量代换法

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例3：如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD²＝FB·FC。

分析：欲证FD²＝FB·FC，即 ，运用三点定形

法不论怎样都定不出三角形，考虑用等量代换，即等线段代换，注意到题设中有EF是AD的中垂线，那么有FD＝FA，

于是要证明的比例式转化为 ＝ ，再用三点定形法可定

出△AFB和△CFA，要证这两个三角形相似也不难，从而辅助线连接也自然而成了。

证明∵FE是AD的中垂线；

∴FA＝FD∠FAD＝∠FDA。

∵∠FAC＋∠CAD＝∠FAD，∠DAB＋∠B＝∠FDA。

又∵∠DAB＝∠CAD，所以∠FAC＝∠B。

∵∠AFC＝∠BFA，∴△FAB∽△FCA。

∴ ＝ ，∴FD²＝FA²＝FB·FC。

例4：如图4，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，CE⊥AB于E。

求证：CD2＝AE·EB。

分析：欲证CD2＝AE·EB，即 ＝ ，应用三点定

形法不论怎样都定不出三角形，考虑用等量代换，即等线段代换，根据题设的条件，可证CD＝CE，于是要证明的比例式

转化为 ＝ ，再用三点定形法可定出△ACE和△CBE，要

证这两个三角形相似也不难，从而辅助线连接也自然而成了。

证明：连接BC、AC，并延长CE交⊙O于F。

∵AB是⊙O的直径，且CE⊥AB，∴ 。

∴∠DCB＝∠ECB。

∵BD⊥CD，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°。

∵BC＝BC，∴△BDC≌△BEC，∴CD＝CE。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。

∵CE⊥AB，∴△ACE∽△CBE。

∴ ＝ ，∴CD²＝CE²＝AE·EB。

三 等比代换法

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例5：如图5，已知AB和CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，弦AE交CD于F，DE交AB于P，求证：AP·FO＝BP·AO。

分析：要证AP·FO＝BP·AO，即 ＝ ，用三点

定形法无法解决，再考虑等线段代换，结论中的四条线段只有AO与图中CO、OB、OD三条线段相等，但不论怎样替换，都无法找到相似三角形，在这种情况下，可以考虑利用比例式搭桥的方法，那么图中是否有等比呢？有已知条件发现，

EP是∠AEB的平分线，所以 ＝ ，这是根据三角形内

角平分线有关的性质，于是要证 ＝ ，则要证 ＝ ，

从而根据三点定形法，需要连接BE，再证明△AEB和△AOF即可。

证明：见图5，连接BE。

∵AB和CD是⊙O的直径，且AB⊥CD。

∴ ，∴∠AEP＝∠BED即∠AEP＝∠BEP。

∴EP平分∠AEB，∴ ＝ 。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°。

∵AB⊥CD，∴∠AOF＝90°。

∴∠AEB＝∠AOF。

∵∠FAO＝∠BAE，∴△AEB∽△AOF。

∴ ＝ ，∴ ＝ ，即AP·FO＝BP·AO。

四 等积代换

例6：如图6，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E为⊙O上的一点，A为 的中点，DE交AB于点F，求证：PF∶PA＝PB∶PO。

分析：求证中成比例的四条线段在同一条直线上，无法直接导出相似三角形，也找不到中间比，注意到求证转化为乘积式PF·PO＝PA·PB，由相交弦定理易证PA·PB＝PC·PD，因此解决此题的关键在于将PA·PB转化为PC·PD，从而待证明等积式变为PF·PO＝PC·PD，利用直接法可证。

证明：连接OC，见图6所示：

∵∠AOC的度数＝ 的度数，∠EDC的度数＝的

度数＝ 的度数。

∴∠AOC＝∠EDC，∴∠POC＝∠PDF，∵∠OPC＝∠DPF。

∴△POC∽△PDF，∴PD∶PO＝PF∶PC，即PF·PO＝PC·PD。

又由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD。

∴PF·PO＝PA·PB，PF∶PA＝PB∶PO。

综上可知，利用相似三角形证明线段的比例式或等积式时，思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。总之，最终是通过相似三角形来证明线段或等积式的，通过多年的实践，收到了良好的效果。但此法并非最好，我将在以后的教学工作中，吸取他人精华，补我所短，使教学水平更上一层楼。

〔责任编辑：高照〕