格蕴涵代数中的零化子

赵建彬, 朱 华, 陈树伟

(1.郑州大学 数学系 河南 郑州 450001; 2.郑州大学 电气工程学院 河南 郑州 450001)

0 引言

为了建立一个可以进行知识表达和推理的逻辑系统，1993年,徐扬[1]将格与蕴涵代数相结合,提出了格蕴涵代数的概念，并讨论了其性质.此后，许多学者对格蕴涵代数进行了大量的研究工作[2-12].例如，Jun等[13]提出了格蕴涵代数中的LI-理想的概念，并研究了其性质.Liu等[4]提出了格蕴涵代数中的ILI-理想与最大LI-理想的概念，研究了它们的性质，并得到了ILI-理想的扩张原理.2006年，朱华等[9]提出了格蕴涵代数中的素理想与准素理想的概念，并研究了它们的性质及它们之间的关系．2008年，Pan等[14]讨论了格蕴涵N-序半群与格蕴涵P-序半群中sl理想的性质．作者基于以上工作，在格蕴涵代数中提出了零化子的概念，证明了零化子是理想和sl理想,并讨论了零化子的特殊性质及零化子与理想、sl理想和零化子的格蕴涵同态像之间的关系.

1 预备知识

定义1[1]设(L,∧,∨,′)是一个有泛界O，I的有余格,≤是L上的偏序关系,若映射→:L×L→L满足: 对任意x,y,z∈L,

(I1)x→(y→z)=y→(x→z)；

(I2)x→x=I；

(I3)x→y=y′→x′；

(I4)若x→y=y→x=I，则x=y；

(I5)(x→y)→y=(y→x)→x；

(l1)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)；

(l2)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)；

则称(L,∧,∨,′,→,O,I)是一个格蕴涵代数(简记为L).若它还满足：x∨y∨((x∧y)→z)=I,则称(L,∧,∨,′,→)是一个格H蕴涵代数.

定义2[15]设L是格蕴涵代数，A是L的非空子集，若A满足：①O∈A；②若(x→y)′∈A,y∈A，则x∈A，称A为L的理想.

引理1[15]设A为L的理想，如果∀x,y∈L,x≤y,y∈A，则x∈A．

定理1[15]设Αi是L的一组理想(i=1,…,n)，则∩Ai也是L的理想.

设A⊆L，则包含A的最小理想称为由A生成的理想,记作A≻.特别地,若A={a},记A≻=a≻.

定理2[15]设L1和L2是格蕴涵代数,f:L1→L2是L1到L2的映射,若∀x,y∈L1,f(x→y)=f(x)→f(y),则称f为从L1到L2的蕴涵同态.若蕴涵同态f还满足：f(x∨y)=f(x)∨f(y),f(x∧y)=f(x)∧f(y),f(x′)=(f(x))′,则称f为从L1到L2的格蕴涵同态.

若格蕴涵同态映射f是一一映射，则称f为格蕴涵同构映射.

定义3[14]设A是L的非空子集,如果①AL,LA⊆A; ②∀a∈A,b∈L,如果b≤a，则b∈A; ③∀a,b∈A,a∨b∈A,则称A是L的sl理想.

格蕴涵代数L中，∀x,y,z∈L,有以下结论[15]：①x→y≤(y→z)→(x→z),x→y≤(z→x)→(z→y);②若x≤y，则y→z≤x→z,z→x≤z→y;③x∨y=(x→y)→y.

2 格蕴涵代数中的零化子

定义4设L是格蕴涵代数,B是L的非空子集,如果B*={x∈L|∀b∈B,x∧b=O},则称B*为B的零化子.

例1[15]设L={0,a,b,c,d,1}是图1所示的偏序集.定义L上的余运算为:0′=1,a′=c,b′=d,c′=a,d′=b,1′=0.L的蕴涵运算“→”的定义见表1,则(L,∧,∨,′,→)构成一个格蕴涵代数.

令B={0,c},则B*={0,a,d}.

例1说明格蕴涵代数中的零化子的确存在.

注显然{O}的零化子是L.

图1 L的偏序集Fig.1 Hasse diagram of L

→0abcd10111111ac1bcb1bda1ba1caa11a1db11b1110abcd1

下面给出零化子的重要性质.

定理3设L是格蕴涵代数,B为L的非空子集,若B*为B的零化子,则∀x∈L,b∈B,x→b=x′⟺x∈B*.

证明“⟹” 因为∀x∈L,b∈B,x→b=x′,则(x→b)→x′=I,所以(b′→x′)→x′=b′∨x′=I.则x∧b=O,故x∈B*.

“⟸” ∀x∈B*,b∈B,则x∧b=O，所以(b∧x)′=b′∨x′=(b′→x′)→x′=I，故b′→x′≤x′，b′→x′≥x′显然成立.所以b′→x′=x′,即x→b=x′.

定理4设L是格蕴涵代数,a∈L,则∀x∈(a)*,a≤x′.

证明因为x∈(a)*,由定理3知,x→a=x′.又因为x′∨a→(x→a)=(x′→(x→a))∧(a→(x→a))=(a′→(x′→x′))∧(x→(a→a))=I,所以x′∨a≤x→a,则x′≤x′∨a≤x→a=x′,故x′∨a=x′，则a≤x′成立.

下面证明零化子是理想和sl理想.

定理5设L是格蕴涵代数,B为L的非空子集,若B*为B的零化子,则B*为L的理想.

证明显然O∈B*.∀x,y∈L,若(x→y)′∈B*,y∈B*,由定理3知，∀b∈B,y→b=y′,(x→y)′→b=x→y.则x′=I→x′=((y→b)→y′)→x′=((b′→y′)→y′)→x′=(b′∨y′)→x′=(b′→x′)∧(y′→x′)=(b′→x′)∧(x→y) =(b′→x′)∧((x→y)′→b)=(b′→x′)∧(b′→(x→y))=(b′→x′)∧(b′→(y′→x′))=b′→x′=x→b.

由定理3知,x∈B*,所以B*为L的理想.

定理6设L是格蕴涵代数,B为L的非空子集,若B*为B的零化子,则B*为L的sl理想.

证明由定理5与文献[14]中的定理4.2,显然可得.

接下来给出零化子的特殊性质.

定理7设L是格蕴涵代数,B,C是L的非空子集,则下列性质成立:①若B⊆C,则C*⊆B*;②B⊆B**;③B*=B***;④(B∪C)*=B*∩C*.

其中,B*是B的零化子，B**表示B*的零化子.

证明①∀x∈C*,则∀c∈C,x∧c=O.因为B⊆C,所以∀b∈B,x∧b=O，则x∈B*，故C*⊆B*成立.

②∀b∈B,x∈B*,x∧b=O,则b∈B**,故B⊆B**.

③由②知,B*⊆B***,B⊆B**.由①知,B***⊆B*，所以B*=B***.

④因为B⊆B∪C,C⊆B∪C,由①知,(B∪C)*⊆B*,(B∪C)*⊆C*，则(B∪C)*⊆B*∩C*.另一方面,又因为∀x∈B*∩C*,所以x∈B*且x∈C*，则∀b∈B∪C，b∈B或b∈C,都有x∧b=O,因此x∈(B∪C)*.即B*∩C*⊆(B∪C)*，故(B∪C)*=B*∩C*.

推论2设L是格蕴涵代数,A,B是L的非空子集,则A*∩B*⊆(A∩B)*.

证明由定理7中④知,A*∩B*=(A∪B)*.因为A∩B⊆A∪B,则由定理7中①知,(A∪B)*⊆(A∩B)*，故A*∩B*⊆(A∩B)*.

定理8设L是格蕴涵代数,B是L的非空子集，B≻是B的生成理想，若B≻=B≻**,则B≻=B**.

证明因为B⊆B≻,由定理7中①知，B≻*⊆B*,B**⊆B≻**,又因为B≻=B≻**,所以B**⊆B≻.

另一方面,由定理7中②知，B⊆B**,由定理5知,B**是L的理想,所以B≻⊆B**.综上,B≻=B**.

定理9设A,B是L的非空子集,则A*∪B*≻⊆(A∩B)*.

证明因为A∩B⊆A,A∩B⊆B,由定理7中①知，A*⊆(A∩B)*,B*⊆(A∩B)*,故A*∪B*⊆(A∩B)*.由定理5知，(A∩B)*是L的理想,故A*∪B*≻⊆(A∩B)*.

定理10设L是格蕴涵代数,若B为L的理想,则B∩B*={O}.

证明显然O∈B∩B*.∀x∈B∩B*,则x∈B且x∈B*.所以x=x∧x=O.

下面给出零化子与理想之间的关系.

定理11设B是L的非空子集，C为L的理想,则B∩C={O}⟺B⊆C*.

证明“⟹” 若B∩C={O},则∀x∈B，c∈C,x∧c=O.否则x∧c≠O∈B∩C与前提矛盾.所以x∈C*，即B⊆C*.

“⟸” 因为B⊆C*,则B∩C⊆C*∩C,由定理10知,C*∩C={O}.故B∩C={O}.

定理12设B,C是L的非空子集,若C=C**,则B⊆C⟺B∩C*={O}.

证明“⟹” 由定理7知,C*是L的理想.又因为B⊆C,再由定理11知,B∩C*={O}.

“⟸” 因为B∩C*={O},由定理11知,B⊆C**=C.

最后给出了零化子与其格蕴涵同态像之间的关系.

定理13设(L,∧,∨,→,′,O,I),(L1,∧1,∨1,→1,1,O1,I1)是格蕴涵代数,B为L的非空子集,f:L→L1是格蕴涵同态,若B*是B的零化子,则f(B*)⊆f(B)*.

证明∀y∈f(B*),则∃x∈B*⊆L,使f(x)=y.又因为B*是B的零化子,所以∀b∈B,x∧b=O，则f(x∧b)=f(x)∧1f(b)=O1，即∀z∈f(B),∃t∈B,使得f(t)=z.由y∧1z=f(x)∧1f(t)=f(x∧t)=O1知，y∈f(B)*.故结论成立.

定理14设L,L1是格蕴涵代数,B为L的非空子集,f:L→L1是格蕴涵同构,若B*为B的零化子,则f(B*)=f(B)*.

证明由定理13知，f(B*)⊆f(B)*.下面只需证明f(B)*⊆f(B*).

∀y∈f(B)*，∃y1∈f(B),使y∧1y1=O1，并且∃x∈L,x1∈B，使y=f(x),y1=f(x1)，因此y∧1y1=f(x)∧1f(x1)=f(x∧x1)=O1.

因为f:L→L1是格蕴涵同构，故x∧x1=O，所以x∈B*，因此y=f(x)∈f(B*)，即f(B)*⊆f(B*).

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