关于特定幸福立方数列

韩 迪

(西北大学 数学系 陕西 西安 710127)

0 引言及结论

著名数论专家 Smarandache教授在他的著作中引入不少新的数论函数、数列[1], 同时也提出了未解决的问题和猜想, 这些内容引起了研究者的重视和兴趣, 并取得了一系列重要的研究成果[2-5].

Jebreel教授在文献[6]中研究Smarandache问题时提出了特定幸福立方数的概念, 即对任意正整数n, 如果n的各位数字的立方相加所得之值恰好等于n, 那么这个正整数n就称为特定幸福立方数. 例如,1=13,153=13+53+33,370=33+73+03,371=33+73+13,407=43+03+73,….所以1,153,370,371,407均为特定幸福立方数. 设F3={1,153,370,371,407,…}表示所有特定幸福立方数的集合. 那么Jebreel教授在文献[6]中针对这个集合也提出了下列几个需要回答的公开问题：1) 特定幸福立方数之集合F3是有限集还是无限集?2)如果集合F3是无限集，那么407后紧接着的数应该是什么?3)集合F3的密度是多少?4)在集合F3中共有多少个素数?5)特定幸福立方数与幸福数、Fibonacci数、Lucas数及Pell数有什么联系?6)在特定幸福立方数列中,370和371是连续的, 那么在这个数列中是否还存在这样连续的数对?

本文利用初等方法以及不等式理论对以上6个问题进行研究, 并给予解决. 此外,还将文献[6]中的问题推广和延伸, 给出了一般特定幸福k次方数的结论.

定理1设F3表示特定幸福立方数列之集合, 则数列F3是有限集且F3={1,153,370,371,407}, 在这个数列中有且只有一个素数407; 并且对任意给定的正整数k≥3, 集合Fk是有限集.

1 定理1的证明

利用初等方法以及不等式理论来完成定理1的证明. 本文中所使用的初等数论知识参见文献[7-8]. 设As是特定幸福立方数列{an}中的一个元素. 假定As的十进制表示式为asas-1…a2a1, 其中1≤as≤9,0≤a1,a2,…,as-1≤9. 于是由特定幸福立方数的定义有

(1)

显然由(1)式可以推出不等式

(2)

即s必须满足不等式 10s-1≤93×s. 设函数fs=10s-1-729s, 则f′s=10s-1×ln 10-729, 当s≥5时,显然有f′s≥104ln 10-729>0,所以当s≥5时,f(s)为递增函数且f5=104-5×729=6 355>0, 故由单调递增函数的性质可知,对所有s≥5,有不等式f(s)>0.从而对所有整数s≥5, 有不等式10s-1>93×s. 这显然与不等式(2)矛盾.所以要使不等式(2)成立, 必须有s≤4. 下面分别讨论s=1,2,3,4.

当s=4时,令A4=a1a2a3a4,并且有1≤a1≤9,0≤a2,a3,a4≤9.由A4的取值范围为1 000≤A4≤2 916, 推出a1=1或者a1=2. 这时,用计算机编程来验证是否存在这样的A4,最终答案是否定的.

当然,也可直接证明4位数中没有特定幸福立方数. 事实上当a1=2时,maxA4≤93×3+23=2 195. 则2 000≤A4≤2 195. 从不等式可以看出a2=0 或者a2=1.

(i)当a2=0时,A4≤93×2+23=1 466.不在A4的取值范围内, 故不成立;

(ii)当a2=1时,A4≤93×2+23+1=1 467.也不在A4的取值范围内, 故不成立.

因此, 得出当a1=2时, 即首位是2的4位数中没有特定幸福立方数.

当a1=1时, maxA4≤93×3+1=2 188,则 1 000≤A4≤1 999. 从不等式可以看出 0≤a2≤9.

用同样的方法可以讨论a2=1,2,3,4,5,6,7,8,9时的情况,在此不作详细陈述. 通过讨论发现首位为1的4位数中没有固定幸福立方数.

类似的，可以讨论s=3,2,1的情况，不难推出F3={1,153,370,371,407}.从而证明了特定幸福立方数列是有限的, 确切地说F3包含5个元素, 且在这5个数中，只有407一个素数.

因此,特定幸福k次方数之集合是有限的,定理1得证.

参考文献：

[1] Smarandache F. Only Problems, Not Solutions[M]. Chicago: Xiquan Publishing House, 1993.

[2] Liu Yaming. On the solutions of an equation involving the Smarandache function[J]. Scientia Magna, 2006,2(1): 76-79.

[3] 张沛. 一个包含伪 Smarandache 无平方因子函数的方程[J]. 郑州大学学报: 理学版, 2008, 40(2): 36-38.

[4] 李玲, 姚维利. 一个包含 Smarandache 函数与伪 Smarandache 函数的方程及其正整数解[J]. 四川师范大学学报: 自然科学版, 2010, 33(2): 200-202.

[5] 蔡立翔. 一个包含数论函数的方程及其正整数解[J]. 郑州大学学报: 理学版, 2008, 40(2): 33-35.

[6] Muneer Jebreel.Smarandache sequence of happy cube numbers[J]. Smarandache Notions Journal, 2004,14(1), 139-140.

[7] 张文鹏. 初等数论[M]. 西安: 陕西师范大学出版社, 2007.

[8] Apostol T M. Introduction to Analytic Number Theory[M]. New York: Springer-Verlag, 1976.