具有整数伸缩因子的多变量向量值双正交多小波包

朱玉清， 卫艳荣， 程正兴

(1.南阳理工学院 数理学院 河南 南阳 473004； 2.济源职业技术学院 基础部 河南 济源465650； 3.西安交通大学 理学院 陕西 西安 710049)

0 引言

多小波由于拥有良好的特性而被广泛地应用在图像压缩、信号处理[1]、求解积分方程与微分方程等方面.向量值小波是一类广义多小波.Xia和Suter[2]引入向量值正交小波的概念.文献[3]讨论了多重向量值双正交小波的存在性及其构造.文献[4]运用多重向量值双正交小波变换研究海洋涡流现象.为了改变小波基的频域局部性，人们引入一元正交小波包的概念.杨建伟等[5]将一元正交小波包的概念推广到多元小波包的情形，给出多元正交小波包的定义.文献[6]进一步给出多变量多重双正交小波包的定义、构造及其性质.受文献[3,6]的启发，本文给出具有伸缩因子aIn2≤a,n∈Z的多变量向量值双正交小波包的定义及其构造，讨论了它们的性质.利用向量值小波包，构造了空间L2(Rs,Cn)的一个新的基底.

(1)

称多元向量值函数列{ћv(x-k):v=1,2,…,n}k∈Zd为子空间V的Riesz基，如果它们满足下列两个条件:(i)对任意Γ(x)∈V，都存在唯一的常数序列b={bv(k):v=1,2,…,n}k∈Zd使得

(ii)存在常数0

1 多元向量值多分辨分析

多分辨分析方法是构造小波的常用方法.先引进多元向量值函数空间L2(Rs,Cn)的多元向量值多分辨分析.设ћj(x)=L2(Rs,Cn)，j=1,2,…,n分别满足下列n个方程，

(2)

其中{bi,j(k),i,j=1,2,…,n}是一个有限支撑数列.记H(x)=(ћ1(x),ћ2(x),…,ћn(x))，根据矩阵理论，方程(2)等价于方程(3)，

(3)

(4)

定义一个闭子空间序列Uj⊂L2(Rs,Cn)为

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

L2(Rs,Cn)=U0⊕j≥0Wj=⊕j∈ZWj=⊕j∈Z(⊕μ∈ΛWj(μ)).

(11)

2 多变量向量值双正交多小波包的概念与性质

引入多变量向量值双正交多小波包.然后，讨论它们的性质.引入记号

(12)

(13)

为了讨论多变量值双正交多小波包的性质，给出2个引理.

证明由于R2=Uλ∈Zs([0,2π]s+2πλ)，而且当λ1,λ2∈Zs,λ1≠λ2时，([0,2π]s+2πλ1)∩([0,2π]s+2πλ2)=Φ.

(14)

AΩσ=⊕μ∈Λ0Ωmσ+μ，j∈Z+；

(15)

(16)

参考文献：

[1] 刘再涛,魏本征,柳澄.一种基于视觉感知的复合医学图像分割算法[J]. 郑州大学学报：理学版，2011，43(1): 57-61.

[2] Xia X G, Suter B W. Vector-valued wavelets and vector fiter banks[J]. IEEE Trans Signal Processing, 1996 ,44(3): 508-518.

[3] Bacchelli S, Cotronei M, Sauer T. Wavelets for multichannel signals[J]. Adv Appl Math, 2002,29: 581-598.

[4] 冷劲松，程正兴. a尺度多重双正交小波包的L2R分解[J]. 工程数学学报,2004,21(3): 391-396.

[5] 杨建伟，程正兴，杨守志.任意矩阵伸缩的正交小波包[J].高等学校计算数学学报,2003,25(1):91-96.

[6] 陈清江，程正兴，冯晓霞.高维多重双正交小波包[J].应用数学, 2005,18(3):358-364.

[7] 张广耀, 李镇. 一个n×n矩阵特征值问题的迹公式及其应用[J]. 郑州大学学报：理学版，2010，42(4): 18-23.