SF-环的内射性

李艳午,程海霞

(1.芜湖信息技术职业学院,安徽 芜湖 241003;2.南京大学数学系,江苏 南京 210093; 3.安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

SF-环的内射性

李艳午1,程海霞2,3

(1.芜湖信息技术职业学院,安徽 芜湖 241003;2.南京大学数学系,江苏 南京 210093; 3.安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

研究了SF-环与P-内射环的关系,构造了SF-环成为P-内射环的一系列条件.证明了SF-环R只要满足其中之一:R的每个极大左理想是有限生成的;特殊右零化子的降链条件;对R的每个极大左理想M,l(M)在R中是本质的,那么R就是P-内射环.在此基础上,利用一定条件下SF-环的P-内射性,发展了SF-环的若干新结果,这些结果部分地拓展了有关文献中的结果.

SF-环;正则环;P-内射环;半单环;零化子升(降)链条件

1 引言及预备知识

显然,正则环是SF-环,也是P-内射环,但SF-环和P-内射环是否为正则环,仍悬而未决.而且SF-环和P-内射环之间的关系也尚不明确,鲜有研究.因此,研究SF-环和P-内射环之间的关系,构造两者之间的充分条件或充要条件是有意义的,在所构造的条件下,这两个重要环类的一些重要性质就可以互相传递,从而拓展已有的相关结果,丰富环论的内容,同时对环论的研究思路也有一定的启发意义.

鉴于以往很多作者都讨论了SF-环与正则环以及强正则环之间的关系[810],而对于SF-环的其它性质涉及甚少.本文首先研究了SF-环与P-内射环的关系,构造了SF-环成为P-内射环的条件;然后,在所构造的条件下,利用SF-环的P-内射性,发展了关于SF-环的若干新结果.文中结果部分拓展了文献[8-10]中的有关结果.

2 SF-环与P-内射环

3 SF-环的内射性

上面构造了SF-环成为P-内射环的条件,本节在上面所构造的条件下,利用SF-环的内射性发展了SF-环的若干新结果,拓展了文献[8-10]的有关结果.

定理2.1和定理2.2表明了半单环在刻画环类时的重要作用,因此研究一个环与半单环的等价性或一个环成为半单环的条件都是有意义的.

文献[8]的定理2利用特殊右零化子的降链条件刻画了SF-环的阿丁半单性,受此启发,下面定理则是利用特殊左零化子的升链条件得到了SF-环的半单性.

定理 3.1 设环R是满足特殊左零化子升链条件的非奇异的SF-环,那么只要R再满足下列条件之一,R就是半单环.

(1)R的不可分解的商环是正则的;

(2)R的每个极大左理想是有限生成的;

(3)对R的每个极大左理想M,l(M)在R中是本质的;

(4)R的不可分解商环是左quasi-duo的;

(5)R是约化环.

(1)R有一个生成子RG是Noether的;

(2)每一个有限生成左R-模是Noether的;

(3)每一个有限生成左R-模的每个子模是有限生成的.

作为正则环的一个例子,利用SF-环在一定条件下的半单性,我们可以证明:

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The injectivity of SF-Rings

Li Yanwu1,Cheng Haixia2,3
(1.Wuhu Vocational College of Information Technology,Wuhu 241000,China;
2.Department of Mathematics,Nanjing University,Nanjing 210093,China;
3.College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

In this paper,we studied the relations between the SF-rings and the P-injective rings.Firstly, we constructed some conditions that SF-rings be P-injective rings.In this section,we proved that a SF-ring R as soon as satis fi es one of the conditions:every maximal left ideal of R is fi nitely generated and special right annihilator descending chain condition and is essential in R for any maximal left ideal of R,then R is a P-injective ring.Secondly,we developed some new results about SF-rings by their injectivity based on certain conditions.Our work extends some results of related references to some extent.

SF-rings,regular rings,P-injective rings,semi-simple rings,annulator ACC(DCC)

0153.3

A

1008-5513(2012)01-0017-08

2011-02-03.

2009年安徽高校省级自然科学研究项目(KJ2009B017Z);安徽省教育厅优秀青年人才基金(2009SQRZ223);安徽省2008年高等学校省级教学研究重点资助项目(2008jyxm180).

李艳午(1975-),硕士,副教授,研究方向:环论.

MSC 2010:16E50