频率散射对船舶垂荡与纵摇耦合运动的影响

黄昆仑 朱 军 葛义军

海军工程大学船舶与动力学院，湖北武汉430033

频率散射对船舶垂荡与纵摇耦合运动的影响

黄昆仑 朱 军 葛义军

海军工程大学船舶与动力学院，湖北武汉430033

为研究遭遇频率散射现象对船舶垂荡与纵摇耦合运动所造成的影响，以某船为研究对象，假设船舶在顶浪航行，通过船舶纵向速度振荡产生频率散射。基于弗汝德—克雷洛夫假定，推导并得到了垂荡与纵摇耦合运动响应方程。采用切片法计算了耦合运动方程中的水动力系数。通过理论求解方法验证了数值求解耦合运动方程的准确性。同时，还分析了散射强度和散射频率单独对耦合运动的影响，以及两者对耦合运动的综合影响。结果表明，增大散射强度和散射频率可以减弱垂荡和纵摇耦合运动及其剧烈程度。

船舶；波浪；纵摇与垂荡；频率散射

0 引 言

1948 年，Davidson［1］对顺浪中的船舶操纵性问题进行了研究。1959 年，Rydill［2］在考虑 Froude-Krylov波浪扰动后，得到了波浪中船舶可控和不可控运动的线性分析。1965 年，Eda［3］在线性操纵性方程中叠加了谐振形式的波浪力，并在线性理论下得到了波浪中船舶航向稳定性结果。1972年，Eda［4］又在PD操舵规律下研究了波浪中船舶的航向控制稳定性，波浪中的操纵性研究基本上是沿用低频操纵性运动方程叠加高频波浪扰动力的方法。1990 年，Nonaka［5］采用双时标展开法在势流理论范围内证明了该方法的合理性。2004年，朱军［6］等人采用切片理论法计算了入射波浪力并将其代入波浪操纵性运动方程中，模拟计算了操纵运动。2009年，陈俊峰［7］等人简化了计算模型，并采用相同的数值方法对波浪中的操纵与横摇运动进行了模拟。

上述研究主要关注的是波浪对操纵性的影响。而文献［8］则基于规则波浪中船舶摇荡运动的不规则现象［9-10］，提出了遭遇频率散射的概念，开始关注波浪中船舶操纵性对摇荡运动的影响，并初步研究了航速和航向引起的散射机制，从而给出了航速散射在顶（顺）浪效率最高，航向散射在正横浪效率最高的结果。单自由度遭遇频率散射计算阐明了船舶遭遇频率散射的形成机理，并得到了摇荡运动方差有显著降低的结论。

本文将主要研究船舶纵向速度振荡对垂荡与纵摇耦合运动的影响，建立耦合运动响应模型，计算散射强度和散射频率变化对耦合运动的影响，从而得到相关规律。

1 垂荡与纵摇耦合运动方程

1.1 坐标系及运动关系

为描述船舶的摇荡运动，需要建立3种右手直角坐标系，如图1所示。

1）固定坐标系 Eξηζ。坐标系固定于地球，用于描述波面升高ζ和船体垂向位移z。

2）平移坐标系oxyz，随船以等速度v0沿Eξ方向运动时，可用于描述船体匀速运动。

3）运动坐标系Gxbybzb，坐标系与船一起平移和摇荡。

假定船舶相对于平移坐标系oxyz沿ox轴以速度 x˙1向前运动，同时，相对于原点o的纵向振荡位移记为x1，其中 x˙1为纵向振荡速度。

图1 运动坐标系Fig.1 Coordinates to describe ship motions

当纵倾角很小时，忽略由于船体纵倾角而引起的纵向位移的高阶小量，船体切片纵向坐标（图1）可表示为：

由坐标系间关系和式（1），可得到：

于是，船体纵向振荡位移为：

1.2 纵摇与垂荡耦合运动方程系数

根据牛顿第二定律、惯性力以及外力平衡，得

式中，m为船体质量；Jψ为船体纵向惯性矩；F为波浪力；M为波浪力矩。

展开得到如下纵摇与垂荡耦合运动方程：

式中，Z为船体垂向位移；ψ为纵摇角；AZZ，BZZ，CZZ，AZψ，BZψ，CZψ，Aψψ，Bψψ，Cψψ，AψZ，BψZ，CψZ为船体水动力系数；Fc，Fs，Mc，Ms为波浪力（矩）系数；ωe0为等速度前进时的遭遇频率；t为时间；k为波浪波数。

以某船为实例，采用切片法计算式（5）中的水动力系数。参考舰船耐波性基础上的查图谱方法［11］，先得到各切片单位长度的附加质量和阻尼系数，然后再通过积分得到水动力系数。

该船船长 L=125m，取规则波波长 λ=L=125 m。采用切片法计算得到的水动力系数如表1所示。

表1 隐身船的垂荡与纵摇耦合运动方程系数Tab.1 Hydrodynamic coefficients of coupling motion equations

2 垂荡与纵摇耦合运动频率散射

2.1 耦合运动频率散射的概念

文献［12］提出了遭遇频率散射的概念。本文将讨论在垂荡与纵摇耦合运动方程中，由于纵向速度振荡而引起的遭遇频率散射机制。

将表1中的水动力系数代入式（6），再设定遭遇频率散射强度和散射频率，利用Matlab软件编制程序，可以通过数值来求解该二元二次常微分方程组，从而得到垂荡和纵摇耦合运动规律。

2.2 耦合运动方程数值求解验证

为了对数值求解运动方程所得到的结果进行检验，考虑当ΔS=0，即不发生频率散射时，垂荡和纵摇耦合方程是二阶常系数线性二元联立方程组，具有理论解，可以与数值解进行对比验证。

本文将通过简捷的复数形式来求解微分方程组。首先把扰动力（矩）及垂荡和纵摇运动都表示成复数形式。取ΔS=0，将式（6）的右端简化成单项复数形式。于是，式（6）可以写成：

由于式（7）代表输入是调和函数的线性系统，故垂荡和纵摇运动是与输入函数频率相同，但幅值有所放大和相位有一定滞后的调和函数，写成复数形式则为：

式中，P、Q、R、S为式（7）整理后的系数，由方程的水动力系数和ωe0共同决定。

式（10）是二元一次代数方程组，可理论求解得到垂荡运动振幅Za=1.041 4 m，纵摇运动振幅ψa=0.095 1 rad。其值与数值方法得到的结果一致，从而验证了数值解法的准确性。

式中，Za和ψa分别为垂荡和纵摇幅值；εZ-ζ和εψ-ζ分别为垂荡和纵摇相对于船中波浪的相位差。

将式（8）和式（9）代入式（7），整理后得到：

3 频率散射对耦合运动影响分析

3.1 散射强度对耦合运动的影响分析

散射频率ωω取常值0.2 s-1，散射强度系数kω变化为0～0.24，即每隔0.04变化一次。通过计算，可以得到垂荡与纵摇运动及其运动速度的历时曲线。无频率散射(kω=0)和发生频率散射(kω=0.24)时的垂荡与纵摇运动历时曲线对比如图2所示。历时曲线由许多幅值不等的振荡周期组成，取历时曲线中的所有振荡周期幅值组成新的数组。该数组能反应出垂荡与纵摇运动及其运动速度振幅，据此可计算该数组的最大值和平均值，其结果如表2所示。垂荡与纵摇运动的振幅最大值和平均值可以反应出运动的强弱，而垂荡与纵摇运动速度的振幅最大值和平均值则可以反应出运动的剧烈程度。纵摇运动振幅最大值、平均值曲线如图3所示。

根据表2及图2、图3，可得到以下几点规律：

表2 垂荡和纵摇运动及其速度最大值与平均值随散射强度的变化Tab.2 Maximum and average amplitude changing with scattering intensity

图2 不同散射强度下垂荡与纵摇运动历时曲线对比Fig.2 Contrast of curves of pitch and heave motions at different scattering intensities

图3 纵摇运动振幅最大值和平均值曲线Fig.3 Curves of maximum and average amplitude of pitch motions

1）由图 2可看出，与 kω=0时相比，在 kω=0.24后，垂荡与纵摇运动的振幅在整体上有明显的减小。

2）随着散射强度系数的增加，垂荡与纵摇运动及其速度的振幅最大值曲线均呈现出明显的上下波动，但波动变化范围不大，在10%以内。

3）随着散射强度系数的增加，垂荡与纵摇运动的振幅平均值曲线均呈现出不断减小的趋势。当散射强度系数kω=0.24时，相比kω=0时分别降低了26%和27%。垂荡与纵摇速度的振幅平均值曲线也呈现出不断减小的趋势，当散射强度系数 kω=0.24时，相比 kω=0时分别降低了22%和23%。

3.2 散射频率对耦合运动的影响分析

散射强度系数kω取常值0.2，散射频率ωω变化为0～0.42 s-1，即每隔0.06 s-1变化一次。通过计算，可以得到垂荡与纵摇运动及其运动速度的历时曲线。无频率散射(ωω=0)和发生频率散射(ωω=0.42)时的垂荡与纵摇运动历时曲线对比如图4所示。同样，取历时曲线中所有振荡周期的幅值组成新的数组，据此可计算该数组的最大值和平均值，其结果如表3所示。垂荡运动振幅最大值与平均值曲线如图5所示。

根据表3及图4、图5，可得出以下几点规律：

1）由图4可看出，与ωω=0时相比，在ωω=0.42后，垂荡与纵摇运动的振幅在整体上有明显的减小。

2）随着散射频率的增加，垂荡与纵摇运动及其速度的振幅最大值曲线均呈现出明显的上下波动，但波动变化范围在10%以内。

3）随着散射频率的增加，垂荡与纵摇运动的振幅平均值曲线均呈现出不断减小的趋势。当散射频率ωω=0.42时，相比ωω=0时分别降低了36%和35%。垂荡与纵摇速度的振幅平均值曲线也呈现出不断减小的趋势，当散射频率ωω=0.42时，相比ωω=0时分别降低了44%和43%。

图4 不同散射频率下垂荡与纵摇运动历时曲线对比Fig.4 Contrast of curves of pitch and heave motions at different scattering frequencies

图5 垂荡运动振幅最大值和平均值曲线Fig.5 Curves of maximum and average amplitude of heave motions

表3 垂荡和纵摇运动及其速度最大值和平均值随散射频率的变化Tab.3 Maximum and average amplitude changing with scattering frequency

3.3 频率散射对耦合运动的综合影响分析

通过计算表4中所列出的散射强度系数和散射频率的变化组合，研究频率散射对垂荡和纵摇耦合运动的综合影响。通过Matlab软件编制程序，取从第1组到第6组组合下的耦合运动历时曲线，并计算历时曲线中振荡周期幅值组成数组的最大值和平均值，然后分别绘制出图谱。其中垂荡运动振幅最大值曲线图谱和纵摇运动振幅平均值曲线图谱如图6、图7所示。

表4 散射强度系数与散射频率的6组组合列表Tab.4 Six groups of different scattering intensity coefficients and scattering frequencies

图6 垂荡运动振幅最大值曲线图谱Fig.6 Curves of maximum amplitude of heave motions

图7 纵摇运动振幅平均值曲线图谱Fig.7 Curves of average amplitude of pitch motions

本文计算了垂荡运动和纵摇运动的振幅平均值与振幅最大值的变化规律。通过分析发现，垂荡运动振幅最大值与纵摇运动振幅最大值的变化规律相似，并且垂荡运动振幅平均值与纵摇运动振幅平均值的变化规律也相似。为了节省文章篇幅，本文将仅对垂荡运动振幅最大值和纵摇运动振幅平均值进行分析。

根据图6和图7，可以得出以下几点规律：

1）由图6可见，对垂荡运动而言，随着散射强度系数的增加，振幅最大值减小；随着散射频率的增加，振幅最大值是先增大，后减小，最后在一定范围内波动，趋于稳定。

2）根据图6中曲线的变化幅度可以看到，整个图谱的垂荡振幅最大值变化范围在0.93～1.08 m之间，上下振荡在10%以内。基本上可以认为散射强度系数和散射频率对振幅最大值的影响不大。

3）由图7可见，对纵摇运动而言，随着散射强度系数的增加，振幅平均值缓慢减小；随着散射频率的增加，振幅平均值较快减小。

4）根据图7中曲线的变化幅度可以看到，整个图谱的纵摇振幅平均值变化范围在0.055～0.095 rad之间，在散射强度系数kω=0.24、散射频率ωω=0.48时，纵摇振幅平均值的下降超过40%。由此表明，随着散射强度系数和散射频率的增大，纵摇幅度降低。

4 结 论

本文基于Froude-Krylov假定，建立了有纵向速度振荡的船舶纵摇与垂荡耦合运动模型，并以某隐身船为例，采用切片法计算了耦合运动方程水动力系数。分别用理论方法和数值方法求解了耦合运动方程，通过相互比较，验证了数值方法的准确性。分析了遭遇频率散射强度和散射频率对耦合运动的影响，以及两者对耦合运动的综合影响。结果表明：

1）散射强度和散射频率的变化将引起垂荡和纵摇耦合运动及其速度振幅最大值出现上下波动，但波动范围较小，频率散射对振幅最大值的影响不大，可以近似地认为振幅最大值基本不变。

2）散射强度和散射频率的增加将引起垂荡和纵摇耦合运动及其速度振幅平均值出现明显的减小，减幅超过40%，可以认为起到了明显减弱垂荡与纵摇耦合运动，并降低耦合运动剧烈程度的效果。

3）从减小船舶摇荡运动的角度考虑，应在振荡速度允许的条件下，尽量选择较大的散射强度系数；而在振荡周期允许的条件下，则尽量选择较大的散射频率。

上述有关船舶遭遇频率散射强度和散射频率对纵摇与垂荡耦合运动特性影响分析的结论，可作为今后进一步开展多自由度耦合运动频率散射研究的基础。同时，船舶在斜浪中的频率散射问题也将是下一步的研究方向。

［1］DAVISON K S M.A note on the steering of ships in fol⁃lowing sea［C］//Proceeding of the 7thInternational Con⁃gress for Applied Mechanics，London，1948：1574-1582.

［2］RYDILL L J.A linear theory for the steered motion of ship in waves［J］.Quarterly Transactions of the Institu⁃tion of Naval Architects，1959，101（1）：81-112.

［3］EDA H.Steering characteristics of ships in calm water and waves［J］.Transaction SNAME，1965，73：135-153.

［4］EDA H.Directional stability and control of ships in waves［J］.Journal of Ship Research，1972，16（3）：205-218.

［5］NONAKA K.On the maneuvering motion of a ship in waves［J］.Transaction of the West-Japan Society of Naval Architects，1990，80：73-86.

［6］朱军，庞永杰，徐玉如.规则波浪中舰船操纵运动计算［J］.哈尔滨工程大学学报，2004，25（1）：1-5.

ZHU J，PANG Y J，XU Y R.Maneuvering prediction of a ship in regular waves［J］.Journal of Harbin Engineer⁃ing University，2004，25（1）：1-5.

［7］陈俊锋，朱军，葛义军.规则波浪中舰船操纵与横摇耦合运动模拟及特性分析［J］.舰船科学技术，2009，31（3）：46-50.

CHEN J F，ZHU J，GE Y J.Simulation and character⁃istics analysis of the coupling motion of maneuvering and rolling for a ship in regular waves［J］.Ship Science and Technology，2009，31（3）：46-50.

［8］朱军，陈俊锋，葛义军.规则波浪中船舶操纵响应遭遇频率频散概念与机制［J］.海军工程大学学报，2010，22（3）：7-10.

ZHU J，CHEN J F，GE Y J.Conception and mechanism of ship frequency dispersion by maneuvering motions in regular waves［J］.Journal of Naval University of En⁃gineering，2010，22（3）：7-10.

［9］陈俊峰，朱军，黄昆仑.规则波浪中舰船不规则摇荡运动计算分析［J］.舰船科学技术，2011，33（1）：41-44.

CHEN J F，ZHU J，HUANG K L.Study on the irregular oscillatory motions for a ship in regular waves［J］.Ship Science and Technology，2011，33（1）：41-44.

［10］CHEN J F，ZHU J.Study on the amplitude character⁃istics of pitch and heave motions for a ship based on frequency scattering［C］//Future Intelligent Informa⁃tion Systems，2011：157-164.

［11］彭英声.舰船耐波性基础［M］.北京：国防工业出版社，1989.

［12］CHEN J F，ZHU J.The conception and mechanism of ship frequency scattering due to maneuvering motions in regular waves［C］//Advanced Materials Research，2011：1248-1253.

Effects of the Frequency Scattering on Ship’s Pitch and Heave Coupling Motions

HUANG Kun-lun ZHU Jun GE Yi-jun

College of Naval Architecture and Power，Naval University of Engineering，Wuh an 430033，China

Assuming that the ship was at head sea，the phenomenon of the encounter frequency scattering was occurred by ship’s longitudinal velocity vibration.On the basis of the Froude-Krylov hypothesis，the coupling motion equations were obtained.Hydrodynamic coefficients of the coupling motion equations were calculated by Strip Method.The accuracy of results from numerical method was validated by theory meth⁃od.The effects of ship scattering intensity and scattering frequency on the pitch and heave coupling mo⁃tions were analyzed independently.The synthetical effects of the encounter frequency scattering on the pitch and heave coupling motions were obtained.The results of analysis show that the pitch and heave cou⁃pling motions can be weakened by increasing of ship scattering intensity and scattering frequency.

ship；waves；pitch and heave；frequency scattering

U661.32

A

1673－3185（2012）03－19－06

10.3969/j.issn.1673－3185.2012.03.004

2011－12－26

国家自然科学基金资助项目（51179199）

黄昆仑（1982－），男，博士研究生，讲师。研究方向：舰船操纵性。E⁃mail：navyboy_111@yahoo.com.cn

朱 军（1959－），男，教授，博士生导师。研究方向：舰船操纵性。E⁃mail：zhjun101@sina.com

朱 军。

［责任编辑：饶亦楠］