方差未知的灰色统计假设检验及应用

李 勇

统计学是分析数据信息的科学。以Karl.Pearson和Fisher开辟的经典统计学主要是以明确的随机信息为研究对象，但现实生活中还存在大量非随机的不确定性数据信息，如L.A.Zadeh（1965）的模糊数据，邓聚龙（1982）的灰色数据等。如何把经典统计学的理论拓广到这些不确定性数据。本文在文献[1-2]的基础上，利用灰色理论[3]，对灰色数据信息在方差未知时的正态均值的假设检验问题进行了研究。

1 灰数的概念

灰色系统理论是1982年我国学者邓聚龙所建立的，是处理少数据不确定性（即称灰性）问题的理论。而灰统计是指将统计对象的实际样本通过白化权函数抽象为灰统计量，按此灰统计量统计出对象所属灰类的权。

灰数指只知道大概范围而不知其确切值的数，常指某个区间或某个一般数集内取值的不确定数。本文为讨论的方便，只研究区间灰数。设灰数⊗∈[a,b]，其白化值记为⊗=ax+(1-x)b,x∈[0,1]，其白化权函数也主要指三角形（态）（适中测度）白化权函数，其一般形式为：

2 灰色统计检验统计量

假设X～(μ ,σ2),μ,σ2未知。随机抽取一组样本量为n样本，样本均值为xˉ。设统计假设检验为：

原假设:H0:μ=μ0↔ 对立假设:H1:μ≠μ0

显见，分母区间内为正数。为了讨论方便，假定分子区间灰数内的数值都为正数，负数计算类似。得：

3 灰色统计假设检验的检验判断准则

得：

由于t0∼t(n-1)，有：

即：

同理，定义 Gv21(α)：

得：

其中γ为定值，且0.01≤α≤1。

且α满足：

×Tˉ 和------GV2比较Tˉ ＜ ------GV2 Tˉ 和 ------GV1×Tˉ ＞ ------GV2 Tˉ＜ ------GV1比较Tˉ＞ ------GV1拒绝H0×Tˉ≈ ------GV1 Tˉ ≈ ------GV2拒绝H0接受H0无法判断无法判断无法判断

（1）灰色统计决断为‘拒绝 H0’的组合有两个：且且

（2）灰色统计决断为‘接受 H0’的组合有一个：且

根据上述规则，可以进行灰色统计检验的判断（拒绝H0、接受H0或无法判断）。

4 灰色统计假设检验判定

0

5 在医学统计中的应用

例：已知某地新生儿的一个生理指标X～N(μ ,σ2)，μ0=1。需要研究难产儿的该项生理指标是否正常。现从该地难产儿中随机101个样本X1,...,X101，其样本均值为 xˉ=1.32，样本方差为s2=4.04。在检验水平γ=0.01下，进行灰色统计检验（其中0.01≤α＜1）。

利用（6）式可计算出Tˉ[]α，其中：

根据判断准则得，灰色统计检验结果是：对H0无法判断。

6 小结

利用随机信息进行参数的假设检验，是数理统计学的基本内容。但经典统计学的方法，都是建立在明确的随机数据上的参数假设检验。而现实中的大多数据，带有模糊或灰色数据，如何更加准确合理地进行判断。本文借助于灰色系统的方法，建立了在随机样本的信息下，方差未知的正态均值的灰色统计假设检验方法。并应用于医学统计与经典的N-P假设检验方法进行比较，从而说明灰色统计假设检验方法能够提供更多的有效信息。

[1] 李勇，张维，陈正伟.随机样本中正态均值的灰色区间估计研究[J].统计与决策，2010,(13).

[2] 李勇.随机信息中正态方差的灰色估计[J].统计与决策，2011,(7).

[3] 刘思峰,党耀国,方志耕等.灰色系统理论及其应用（5版）[M].北京：科学出版社，2010,(5).

[4] 徐勇勇.医学统计学（2版）[M].北京:高等教育出版社,2005,(4).