低信噪比下的变步长最小均方自适应算法及其在时延估计中的应用

付学志，刘忠，胡生亮，刘志坤

(海军工程大学 电子工程学院，湖北 武汉，430033)

时延估计技术随声纳与雷达系统的被动定位而发展，利用时延估计算法输出的同源信号到各传感器之间的时间差得到目标的位置信息。基于最小均方(LMS)理论的自适应时延估计方法将信号的时延效应等效为信号通过一个自适应FIR滤波器的响应，继而将问题转化为滤波器参数的估计问题。该方法能够不依赖于输入信号和噪声的统计先验知识，根据噪声场的变化不断地调节自适应滤波器本身的参数，从而有效地抑制了干扰[1]。随着自适应滤波理论的发展，对于 LMS自适应时延估计算法的研究不断深入。在各种自适应时延估计算法中，固定步长 LMS自适应滤波算法及在此基础上改进得到的归一化 LMS(即NLMS)自适应滤波算法因其具有计算量小、易于实现、稳定性好等优点而被广泛采用[2-4]。但是，LMS算法在收敛速率、跟踪速率和权失调噪声之间的要求是相互矛盾的，不能同时得到满足；NLMS算法在输入信号较大的情况下避免梯度噪声放大的干扰，扩大输入信号的动态范围，具有更好的收敛性能，但受噪声影响较大，仍然无法在收敛速度和稳态误差之间达到折中优化[5]。针对上述问题，文献[6-13]等给出多种不同的解决方法，其中，变步长算法是目前应用最广泛的改进策略，其改进原则是：在初始收敛阶段或未知系统参数发生变化时，使用大步长调整，以便有较快的收敛速度；而在算法收敛后，不管主输入端干扰信号有多大，保持很小的调整步长以达到很小的稳态失调噪声[14]。Gitlin等[15]提出步长μ(n)随自适应迭代次数n的增加而逐渐减小的策略，该算法可获得很小的稳态失调噪声，但不具有时变跟踪能力[11]。Kwong等[6]提出一种VSS-LMS算法，算法的自适应步长通过瞬时误差的功率e2(n)来调节，在低噪声干扰等理想情况下能够同时兼顾收敛速度和稳态失调性能，但在强噪声特别是相关噪声干扰环境下仍然具有较大的失调噪声[16]。Aboulnasr等[17]提出的MVSS-LMS算法应用当前误差与上一步误差自相关估计的迭代更新(e(n)e(n-1))代替 VSS-LMS算法中瞬时误差的功率e2(n)来控制步长更新，在一定程度上消除噪声中不相关成分的干扰，但由于误差信号在收敛过程中相关性较小，导致算法的步长在收敛前就减小到最小值[18]。覃景繁等[7]提出基于Sigmoid函数的变步长LMS算法(SVS-LMS)，能同时获得较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差。但Sigmoid函数过于复杂，在误差接近0时变化太大，不具有缓慢变化的特性，使得SVS-LMS算法在稳态时仍有较大的步长变化。为此，Sristi等[18-19]提出具有代表性的类Sigmoid函数化改进算法，在稳态时步长因子很小，且变化不大，但此类算法的收敛性能和稳态误差取决于2个固定参数，在干扰噪声下并不具有较强的韧性且跟踪时变信号的能力不强[20-21]。上述各种变步长 LMS自适应滤波算法都可以直接应用于时延估计问题中，由滤波器权系数峰值坐标得到时延估值。为了强化变步长 LMS算法在水下声信道等低信噪比条件下对时变时延的跟踪性能，本文在 MVSS-LMS算法的基础上对误差自相关时间均值估计做遗忘加权补偿，并改变步长因子的约束方式，HB加权方法[22]应用到变步长自适应滤波算法中，压低相关噪声功率，突出权系数峰值，进一步改善低信噪比下的时延估计性能。仿真实验和消声水池目标被动定位试验结果表明：在参数固定条件下，新算法与MVSS-LMS算法[17]和SVS-LMS算法[8]相比具有较强的时变时延跟踪性能和抗噪声干扰性能。

1 VSS-LMS算法及改进的MVSSLMS算法

Kwong等提出了VSS-LMS算法[6]，公式如下：

其中：d(n)为 M 阶自适应滤波器的期望输出；x(n)为某一时刻的输入向量；ω(n)为此时刻滤波器权系数向量；e(n)为此时刻的误差；μ(n)为自适应调整步长，且满足以下步长约束范围：当μ(n+1)＜μmin，则μ ( n+1)=μmin；当μ(n+1)＞μmax时，μ(n+1)=μmax。μmax一般选择接近固定步长LMS算法的不稳定步长点，以提供最大的可能的收敛速度；μmin在算法稳定收敛的前提下，根据所预期的失调和收敛速度作出一个合适的选择，关于μmax和μmin的取值可参考文献[25]。

由μ(n)的迭代公式可见：自适应步长通过瞬时误差的功率e2(n)来调节，参数λ为步长的遗传因子，0＜λ＜1，决定了算法收敛时的步长；参数γ＞0，决定步长受瞬时误差功率的影响程度，控制算法的失调和收敛速度。这种变步长LMS算法比固定步长LMS具有显著优势，即在自适应初始阶段，误差较大，则使用大步长调整，加快收敛速度；随着收敛的加快，误差减小，则改用小步长调整，产生较小的失调。

理论分析和仿真试验均表明[16,23-24]：在噪声环境下，直接使用瞬时误差功率调整步长并不能准确反映收敛前后自适应系统的状态，特别是当ω(n)接近最佳权向量 ωopt(n)时，由于噪声的存在，步长μ(n)围绕ωopt(n)有较大的波动，导致较大的失调噪声。MVSS-LMS算法[17]通过使用误差e(n)和e(n-1)的自相关估计来控制步长更新，其步长更新公式如下：

其中：p(n)为e(n)e(n-1)的自相关时间均值估计；正常数β(0＜β＜1)用来控制收敛时间。在迭代开始时p(n)很大，有较快的收敛速度；当达到最佳权值附近时，误差的自相关很小，p(n)很小，则得到一个小的调整步长。单个样本的误差对 p(n)的影响由(1-β)加权，大大减小了白噪声的干扰。

2 新的变步长自适应LMS算法

2.1 算法表示

尽管MVSS-LMS算法具有比VSS-LMS算法更优异的抗独立噪声干扰性能，但在自适应滤波器的迭代过程中，误差信号 e(n)在收敛过程中相关性较小，用e(n)e(n-1)调整步长会使MVSS-LMS算法的步长因子很快变小，从而导致算法的步长在收敛前就减小到最小值[18]。

针对以上不足，本文在步长的迭代过程中引入历史误差e2(n-i) (i=0, 1, …, n-1)的遗忘加权和，然后补偿到e(n)e(n-1)中，一方面可以减缓由于e(n)相关性较小所导致的步长快速衰减趋势，另一方面也能够获得与 MVSS-LMS算法同样的抗独立噪声干扰性能，但与 MVSS-LMS算法相比省却了中间变量 p(n)的迭代运算。本文提出的新的变步长自适应 LMS算法的步长迭代公式为：

其中：ε(i)为遗忘加权因子，其作用是对过去的n个误差功率作指数函数衰减加权，越是过去的误差，对当前步长的影响就越小；参数χ≥1，控制加权因子的衰减速度。在自适应初始阶段，误差较大，遗忘加权补偿也较大，导致大步长调整；随着收敛的加深，e(n)e(n - 1 ) → 0 ，对步长调整起主导作用的变为补偿项(实际上由于遗忘因子的作用，，此时本文算法的步长调整方式趋向于VSS-LMS算法。

为避免算法深度收敛时噪声干扰使步长μ(n)产生较大的幅度变化，使步长的调整紧随时变信号，将VSS-LMS算法和MVSS-LMS算法中原有的定步长约束改为动态约束，即当μ(n+1)＜σμ(n)时，μ(n+1)=σμ( n )； 当 μ(n+1) ＞ σμ(n)/σ 时 ， μ(n+1)=σμ( n )/σ。参数0＜σ＜1，可以控制步长始终在最佳步长附近变化，增强了算法的鲁棒性。σ越小，步长对时变信号越敏感，但同时抗干扰能力越弱；σ越大，抗突变噪声干扰的能力越强，但步长调整对时变信号的响应越滞后，一般可取典型值σ=1/2或σ=1/3。

2.2 算法参数改进

2.2.1 算法复杂度改进

由式(7)可见，本文算法引入所有历史时刻的误差进行遗忘加权补偿，提高了步长跟随精度。但随着收敛的加快，误差 e(n)和遗忘因子ε(i)的拖尾部分将逐渐趋近于 0。因此，在实际工程应用中，可只取长度为K(例如当χ=2，K＞10时， ε( i) →0)的滑动窗遗忘加权，在减小运算量的同时对步长调整精度的影响可以忽略。在固定窗长度下，本文算法与 VSS-LMS算法和MVSS-LMS算法的计算复杂度均为O(M)。需要指出的是：相比于VSS-LMS算法，本文的新算法在计算量上仅增加了K次乘法运算，这在并行运算器件如FPGA中实现时可以通过 e xp(-χi)函数的查表实现滑动窗加权运算；在数字信号数延器(DSP)中实现时可以将 e xp(-χi)函数变为2-χi，并进一步简化为对误差e(n-i)的移位运算。以上2种实现方式的计算复杂度增加几乎可以忽略。

2.2.2 归一化处理

为使算法能够适应大的动态输入范围，也可以进一步在式(2)中引入信号 x(n)的归一化功率，以μ(n)/Pxx代替μ(n)，在输入信号有大范围的动态变化时，系统仍能保持稳定。归一化处理后的变步长算法权系数迭代公式如下：

其中：参数 c为小的正常数，防止分母为 0的情况发生。

2.2.3 HB加权抑噪

在 LMS自适应时延估计算法中，由自适应滤波器权系数的峰值位置即可得到时延估值，即：

当信噪比很小时，噪声的存在会导致峰值位置偏移，甚至出现虚假的峰。解决方法之一是寻找1种加权方法，突出峰值并平滑假峰，使噪声项的影响降到最小。由此，在期望信号峰值与输出噪声之比为最大的准则下，Hassab等[26]导出了HB加权函数为：

进一步将HB加权函数表示为2个自适应Roth处理器的组合形式[22]，并得到加权后的滤波器权向量V(n)为：

由V(n)的峰值坐标得到HB加权抑噪后的时延估值。此算法的原理框图如图1所示。

图1 本文算法的HB加权抑噪方法Fig.1 Schematic diagram of HB weighted algorithm

HB加权对信号和噪声功率谱进行预白化处理，增强了信号中信噪比较高的频率成分。但由图1可知，HB加权需要3次FFT运算和2个并行的LMS自适应滤波器，运算量较大，适用于部署在FPGA等大规模并行运算器件中、对低阶次的变步长 LMS算法抗噪声干扰性能进行改进。

3 实验验证

通过自适应时间延迟估计仿真实验验证本文算法的性能。设自适应滤波器的参考输入和基本输入信号序列分别为：

其中：n为离散时间刻度，自适应滤波器阶数为M；源信号为多个单频信号的叠加，频点分别为f1=1 kHz，f2=2 kHz和f3=5 kHz，信号采样频率为fs=80 kHz；v1(n)和v2(n)为按设定信噪比叠加的高斯白噪声；时延D(n)为模拟目标运动所产生的时变时延；时延估值由自适应滤波器权向量ω(n)或ω(n)经 HB加权后的最大值坐标得到，并对峰值点做抛物线插值。

3.1 高斯噪声干扰下时变时延跟踪性能仿真实验

图 2所示为本文算法、本文算法的 HB加权、MVSS-LMS算法[17]和SVS-LMS算法[8]在信噪比RSN=-7 dB和-10 dB下的时变时延跟踪性能对比，各算法的参数设置如表1所示。

表1 各种LMS算法的仿真参数设置Table 1 Simulation parameters of various LMS algorithms

虽然各算法的参数设置未必与输入信号达到最佳匹配，但各算法在参数固定条件下的时延估计性能对比仍然具有参考价值。由图2可见：

(1) 信噪比越大，各算法对时变时延的跟踪性能越好；

(2) 在时变时延跟踪速度方面，本文算法与SVS-LMS算法性能基本相当，而MVSS-LMS算法的响应时间明显迟滞于时延真值(在图中可见时变时延估值相对真值有“偏移”，且信噪比越小，偏移越明显)；

(3) 在时变时延跟踪精度方面，相同信噪比下本文算法的性能明显优于MVSS-LMS算法和SVS-LMS算法，特别是当RSN=-10 dB时，MVSS-LMS算法和SVS-LMS算法围绕时变时延真值均出现了较大的迟滞或波动，甚至无法收敛到时延真值；而本文算法带有历史误差的遗忘加权补偿，基本上能够紧随时变时延，鲁棒性较强；

(4) 本文算法及其 HB加权改进是一种对噪声干扰具有较强韧性的时延估计算法。加权策略进一步压低时延估值中的噪声成分，突出 LMS滤波器权向量的峰值(RSN=-2 dB，如图3所示)。而且HB滤波器改善输入信号的信噪比，在相同步长因子的前提下可以加快自适应滤波器的收敛速度[22]，因此，对时变时延的跟踪性能最好。

进一步对比各算法的步长因子调整曲线可见(RSN=-7 dB，如图4所示)：

(1) 由于误差信号e(n)在收敛过程中相关性较小，MVSS-LMS算法用e(n)e(n-1)来调整步长导致步长因子很快减小为μmin并保持，由此导致时延跟踪速度较慢。

(2) 对比式(3)和(7)，本文算法的步长调整相当于在 MVSS-LMS算法的基础上叠加了补偿项，因此整体步长大于MVSS-LMS算法的步长，对时延的跟踪速度也较快。

图2 高斯噪声干扰下本文算法与MVSS-LMS算法、SVS-LMS算法的时变时延跟踪性能对比Fig.2 Performance comparison of tracking time-varying delay in Gaussian interference using MVSS-LMS, SVS-LMS and proposed algorithms

图3 不同变步长算法下归一化权系数对比(SNR=-2 dB)Fig.3 Comparison of filter’s coefficient of various adaptive algorithms for SNR=-2 dB

图4 不同变步长算法下的步长调整曲线(RSN = -7 dB)Fig.4 Comparison of adjusting step-size of various adaptive algorithms for RSN = -7 dB

(3) 本文算法采用与历史步长有关的动态步长限幅策略，算法收敛后的步长变化相比 SVS-LMS算法更“平滑”，一方面提高了时延跟踪速度，另一方面也减小了由于步长快速调整导致的稳态失调噪声。

(4) 大量仿真实验结果表明，尽管可以通过增大SVS-LMS算法的β参数加快其时延跟踪速度，或减小α参数提高时延跟踪精度。但由本文的仿真结果可知：随着输入信号噪声的增大，参数固定条件下的SVSLMS算法对信噪比敏感，难以在跟踪速度和跟踪精度性能上达到折中，且其最大步长调整幅度受参数β的约束，即μ(n ) = β ；而本文算法的参数设置对输入信号信噪比并不敏感，是一种韧性较强的算法。

图5 突变噪声干扰下本文算法与MVSS-LMS算法、SVS-LMS算法的时变时延跟踪性能对比Fig.5 Performance comparison of tracking time-varying delay in impulsive interference using MVSS-LMS, SVS-LMS and proposed algorithms

3.2 抗冲激干扰性能仿真实验

下面模拟存在于输入信号中的突变噪声对时延估计的影响。这种突变干扰在时延估计问题中经常发生，有可能使自适应时延估计算法无法收敛到真值。假设突变噪声模型为d(n)中间点处的单位冲激序列δ(n)，干扰强度为10δ(n)，各算法的参数设置同上。受干扰后的时延跟踪曲线如图5所示。由图5可知：

(1) SVS-LMS算法在受干扰的初始阶段偏离时延真值，但最终也将逐步收敛；

(2) 由于 MVSS-LMS算法在收敛后以小步长调整，对冲激噪声干扰并不敏感；

(3) 本文算法在深度收敛后以趋向于 VSS-LMS算法的方式调整步长，且采用动态步长限幅策略，因此，对冲激噪声干扰也具有较强的鲁棒性。

3.3 消声水池目标被动定位试验

进一步将上述变步长 LMS算法应用到基于垂直三阵元的消声水池时延估计和目标被动定位试验中。试验态势和目标被动定位原理如图6所示，图中S为目标声源，H1，H2和H3为等间隔d排列的水听器。通过估计声信号到达 H1和 H2的时延τˆ12，以及到达H2和 H3的时延，可求解目标声源的距离与深度[22]。

在某次试验中各试验态势变量如下：R=3.685 m，N=3 m，L=4.835 m，d=0.605 m，fs=200 kHz，消声水池中声速c以1 450 m/s计，则可得到以采样周期为单位的时延真值为≈6.568、≈16.669，目标斜距离真值为4.883 m，深度真值为3 m。图7所示为上述几种变步长算法下的时延估计和目标定位试验结果。

图6 消声水池目标被动定位态势和原理图Fig.6 Schematic diagram for passive localization in anechoic tank

图7 消声水池目标被动定位试验结果Fig.7 Experiment results of passive localization in anechoic tank

由图7可见：与MVSS-LMS和SVS-LMS算法相比，本文算法及其HB加权抑制了一部分由噪声引起的时延野值，目标定位结果的稳态误差也较小。

4 结论

(1) 将 LMS自适应滤波器瞬时误差的功率 e2(n)予以遗忘加权，补偿到误差的自相关时间均值估计中，并改变步长因子的约束机制，得到改进的、韧性更好的变步长LMS自适应时延估计算法。

(2) 在高斯噪声和突变噪声干扰下，相比于常见的参数固定的MVSS-LMS算法和SVS-LMS算法，本文算法及带有HB加权的改进算法能够获得更好的时变时延跟踪性能。消声水池目标被动定位试验也验证了该算法的有效性。

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