“形”中的最值

☉江苏省姜堰市励才实验学校 仇锦华

说到初中数学中的“最值”（最大值或最小值），往往会让人联想到从“数”的角度去建立函数关系式，求函数的最大值或最小值.而有时从“形”的角度去研究最值则显得更加直观、简洁.在几何中与“最短”、“最长”相关联的知识点有：“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”等.

一、两点之间线段最短

例1 如图1，已知∠MON=90°，P、Q在两直角边上运动，且PQ=2，以PQ为边在PQ上方作等边△PAQ，求AO的最大值.

分析：A点是随P、Q的运动而变化的.虽然OA是动的，但我们要善于在“动”中寻“静”.因为PQ=2，即Rt△PQO的斜边，等边△APQ的边长不变.故取PQ中点D，则

小试牛刀：

如图2，菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为BC中点，P为BD上动点，求PE+PC的最小值.

提示：利用轴对称将PE+PC转化为PE+PA，因为PE+PA≥AE，所以最小值为AE的长.

二、垂线段最短

图3

例 2 如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，P，Q在AC，BC上运动，且以PQ为直径的圆与AB相切，求PQ的最小值.

分析：在Rt△PQC中，以PQ为直径的圆必过C点，若将PQ看成是△PCQ的斜边，△PCQ其余两边PC，CQ都是变化的，不能求出PQ的最小值，若将PQ看成是圆的直径，则PQ长可以转化为两个半径之和.

解：设PQ中点为O，⊙O与AB相切于点H，则OH⊥AB，OH=所以PQ=CO+OH，根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，可知当C，O，H共线且COH垂直于AB时CO+OH最短，即当CH=4.8时，PQ最小值为4.8.

提示：作N关于AD的轴对称点H，当B、M、H在一条直线上且BMH垂直于AC时最短.

图4

三、综合运用

例3 已知抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B与y轴交于C，顶点为N，C，D关于对称轴对称，直线AD交y轴于E，P为线段DE上一点，自P作PH⊥y轴于H，求PH+PN最小值.

分析：此题若从数上考虑最值，则需设P点坐标，用P点的横坐标表示PH+PN，式子比较复杂，且含二次根号.若从形上考虑，则发现，A（-1，0），D（2，3），可知∠DAB=45°.若从A作直线AM⊥x轴，则P为∠MAB的角平分线上一点.PH+1=PG，所以PH+PN=PG+PN-1.

图5

图6

解：自A作直线AM⊥x轴，自P作PG⊥AB于G，易得A（-1，0），D（2，3），N（1，4）.

所以∠DAB=45°，所以PA平分∠MAB，所以PH+1=PG，所以PH+PN=PG+PN-1.

当N，P，G三点共线，且NG⊥x轴时PG+PN最小为4，所以PH+PN最小值为3.

小试牛刀：

如图6，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

（1）求证：△AMB≌△ENB.

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；