从课本一道例题教学的“ 听 ”中得到的启示

☉福建省武夷山市第二中学 彭继飞

从课本一道例题教学的“ 听 ”中得到的启示

☉福建省武夷山市第二中学 彭继飞

数学课本上有很多例题，在数学课堂教学中离不开课本上例题的教学.怎样用好课本上的例题是数学教师关注的一个重要方面.笔者最近听了一节常规课，在对课本一道例题的“听”中得到了一些启示.

一、课堂

此节课的内容是人教A版《数学》必修2§4.2.1直线与圆的位置关系（P126-P128）.上课老师在讲评例题2时是这样进行的.

首先教师在黑板上写出例题2的题目：

已知过点（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y－21=0所截得的弦长为4，求直线l的方程.

题目写好后先让学生进行独立思考，然后由教师提问.可能学生课前预习过，对于课本上提供的解法学生很好地配合老师讲完.教师并把课本上的解题过程板书在黑板上.

解：将圆方程化成标准形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圆心坐标是（0，-2），半径r=5.

图1

因为直线l过点（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

此时上课老师说道：同学们已经很好地掌握了这道题的解法，但老师觉得课本上这道例题的解法有一处表达上不是很完整，大家发现了吗？大家找找看.

全班学生听后，有部分学生小声议论：课本不会有这样的情况吧.但大家还是认真地看课本上例题的解法.……

学生1：老师，没发现呀，我觉得很完整的.

（很多学生表示认同）

学生2：老师，……（欲言又止）

老师：讲一讲，没关系的.

学生2：要在“因为直线l过点（-3，-3）”与“所以可设所求直线l的方程为y+3=k（x+3）”之间加一句话“所以直线l的斜率存在”.

老师：你是怎么想到要加这句话的，说说你的理由.

学生2：老师经常交待我们在设直线点斜式之前要考虑直线斜率是否存在嘛.

学生3：我不认为这样.前面提到过圆心到所求直线l的距离为且圆心又在y轴上，这就隐含着本题中过点（-3，-3）的直线l不能垂直x轴，即斜率存在；倘若直线l垂直x轴，圆心到所求直线l的距离为3呀.

学生4：学生3说得对，你看课本P128页的右上角还有一个小注解“适当利用图形的几何性质，有助于简化计算”，这里就是几何性质的应用嘛.

学生6：这不叫“卖关子”，课本当然是有启发性的，你应该自己一句话一句话去读、去想嘛.

学生5：那看数学课本不成了批注文言文嘛.

学生大笑，看着老师.

老师：从大家的回答中我觉得大家还是有自己的想法的，老师很高兴.老师赞同学生2的看法，此题加一句话更好一些.而且我把解题过程换一种方式进行表达，这种表达方式条理更清楚.大家请看：（出示事先准备好的幻灯片课件）

解：将圆方程化成标准形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圆心坐标是（0，-2），半径r=5.

当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

即x+2y+9=0，或2x－y+3=0.

学生7：如果当直线l的斜率不存在时求出的弦长符合题意呢.

学生8：这时直线l的方程就为x=－3呀.

老师：就一个答案吗？

学生2：还有的，当直线l的斜率存在时，用刚才类似的方法可以算出k的另外的两个值.

学生9：这样那满足题意的直线有3条呀.按照圆的对称性满足题意的直线应该仅有2条吧.

一部分学生愕然……

老师：说得好，在“当直线l的斜率不存在时求出的弦长符合题意”时，到后面求k的值时方程自然就只有一解的.数学“神”着呢.

（学生出现不相信的表情）

老师：大家看下面道题目及其解法（出示事先准备好的幻灯片课件）：已知过点（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y－21=0所截得的弦长为8，求直线l的方程.

解：将圆方程化成标准形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圆心坐标是（0，-2），半径r=5.

当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

学生：果然！

老师：这种解题过程条理显得更清楚！大家以后遇到这类问题按这样的解法更好！

老师：本题还可以出有关过一圆外已知点求圆的切线方程题目.大家请看下列题目（出示事先准备好的幻灯片课件）：

题1：已知圆C：x2+y2+4y－21=0，求过点（1，5）与圆C相切的直线l的方程.

题2：已知圆C：x2+y2+4y－21=0，求过点（5，1）与圆C相切的直线l的方程.

老师：解法开始步骤与前面问题类似，分“直线l的斜率不存在时”与“直线l的斜率存在时”这两种情况讨论，与前面问题不同的是在求斜率k时是通过圆心到直线的距离等于圆的半径这一条件列方程.对有关过一圆上已知点求圆的切线方程题目相对比较简单，如下面题目（出示事先准备好的幻灯片课件）：

题3：已知圆C：x2+y2+4y－21=0，求过点（3，2）与圆C相切的直线l的方程.

这三个题目课后大家可以自己独立研究解决，有困难的同学可以求助学习小组或老师.研究完可以写成一篇小论文，交给老师.

……

二、点评

本节课是一节“推门课”，笔者感觉听起来很真实，少了公开课的“做秀”.老师对课堂的生成很重视，老师不会因为为完成这节课的任务而“应付”课堂生成.老师对解题的指导做到该探究则探究，该讲授则讲授.整节课的容量不小，但条理清楚，学生并不感到负担重.本节课中的例题解法书写对学生今后学习选修中的直线与圆锥曲线的位置关系的问题打下了一个坚实的基础，体现了学习内容“螺旋上升”的原则.有一些不足之处，如从已知弦长求割线问题过渡到求切线问题时不够自然；教学中强调书写格式较多，对解析几何中“数形结合”的思想渗透重视不够.

三、几点启示

启示1：课堂上例题教学应体现“算法”思想.老师做到这一点，学生就有可能解决相类似的一类问题，这就有“举一反三”可能，从而也才有创新的可能.本节课的例题教学较好地体现了“算法”思想.

第一步：求出已知圆的圆心（a，b）和半径r.

第三步：设过已知点（x0，y0）的直线l的方程为y－y0=k（x－x0）即kx－y+y0－kx0=0.

第五步：写出符合题意的直线方程.

启示2：老师讲解例题时不能只局限于本道例题，可以对例题进行再“加工”，即一题多用，这样课堂的效率大大提高.本节课就把例题“加工”成过圆外一点或圆上一点求圆的切线问题.只要老师处理得好，学生负担是不会加重的.经常这样做，老师的出题能力会大大加强，学生也能从中学会一些发现问题、研究问题的方法.

启示3：例题教学要注意三方面：一是本节课的知识方法应用，二是对前面知识方法的巩固应用，三是对以后学习中一些问题解决做一些“铺垫”.这一定程度上体现了学习内容“螺旋上升”的原则.

启示4：可以在学校教研组内部开展一种名为“说例”（即说课本例题）的教研活动.对课本上有一定代表性的例题进行“说例”活动时，可以从以下几方面进行分析来“说”：

1.例题的编制背景.

2.例题的编制意图.

3.例题的解法由来.

4.例题的解法创新.

5.例题的拓广.

6.例题与近几年高考试题、竞赛题的联系.

有可能的话，把必修和选修课本中的例题“说”的内容汇编起来，这就是一项很好的校本教研成果了.

1.普通高中课程标准实验教科书（人教A版数学必修2）.北京：人民教育出版社，2011.