关于同时保持极小秩和某一非奇异双线性函数的变换*

贺 丹，金明浩

(黑龙江工程学院)

0 引言

线性保持问题是矩阵论研究领域中一个十分活跃的课题，刻画矩阵集之间保不变量的线性算子的问题被称为“线性保持问题”，简称“LPP”(Linear preserve Problem).近年来，线性保持问题被广泛地研究，许多数学家通过加强、减弱、改变条件得到了很多成果［1-3］.1991年Omladic M，Semel P考虑用“加法算子”代替线性算子［4-5］，开始了“加法保持问题”的研究，可见加法保持问题是线性保持问题的推广.2005年Zheng B D，Sheng Y Q得到了结论:Mn(F)上的变换T是可逆线性变换当且仅当T部分地保持某一非奇异双线性函数［6］.该文考虑Mn(F)到其自身的同时保持极小秩和某一非奇异双线性函数的变换T，给出了这种变换的详细刻画.

1 预备知识

设F是一个特征不为2的域，Mn(F)是F上n×n全矩阵空间，Ⅰ是n×n单位矩阵，GLn(F)是所有n×n可逆矩阵构成的群，称为一般线性群，F*是由F中所有非零元构成的乘法群.对于矩阵A∈Mn(F)，记At是A的转置矩阵，A-1是A的逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，Un(F)={A∈GLn(F)|AAt=Ⅰn}是酉群，r(A)是A的秩，mr(A)=min(r(A-λⅠ):λ∈F)是A的极小秩.若线性变换T:Mn(F)→Mn(F)满足mr(T(A))=mr(A)，∀A∈Mn(F)，则称T是Mn(F)上保持极小秩的线性变换.

对于矩阵A∈Mn(F)，它的极小秩与其非平凡不变多项式的个数之间满足关系mr(A)+i(A)=n，其中i(A)表示A的非平凡不变多项式的个数［7］.所以方阵平凡不变多项式的个数等于极小秩.因此研究保持平凡不变多项式的个数、非平凡不变多项式的个数、极小秩的变换是一回事.

如果对于某一非奇异双线性函数f(·，·):Mn(F)×Mn(F)→F来说，有Mn(F)上的变换T满 足f(A，B)=f(T(A)，T(B))∀A，B∈Mn(F)，则称T保持某一非奇异双线性函数

f(·，·):Mn(F)×Mn(F)→F.如果存在Mn(F)的一组基{ε1，ε2，…，εn}和一个映射π:{ε1，ε2，…，εn}→Mn(F)，使 得f(A，εj)=f(T(A)，π(εj))∀A∈Mn(F)，j=1，2，…，n，则称T部分地保持某一非奇异双线性函数f(·，·):Mn(F)×Mn(F)→F.由文献［6］可知Mn(F)上的变换T是可逆线性变换当且仅当T部分地保持某一非奇异双线性函数.

2 主要结果

文献［8］刻画了Mn(F)到自身的保持极小秩的线性变换的形式.该文考虑Mn(F)到Mn(F)的同时保持极小秩和某一非奇异双线性函数的变换T，给出了这种变换的详细刻画.

定理1n≥3时，变换T:Mn(F)→Mn(F)，如果满足

那么存在矩阵P∈GLn(F)，使得

或者

其中α=±1.

反之，Mn(F)上任意形如(1)，(2)的变换都满足条件(i)和(ii).

证明 由文献［6］可知T是线性的，再由文献［8］可得存在矩阵P∈GLn(F)，使得

或者T(A)=αPAtP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)

其中α∈F*，f是Mn(F)上的线性函数.

(1)当T(A)=αPAP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，由条件(ii)可得对于任意A，B∈Mn(F)，有

当B=Ⅰ时，Tr(A)=α2Tr(A)+αf(Ⅰ)Tr(A)+αf(A)n+nf(A)f(Ⅰ)，∀A∈Mn(F)，由此可得

故f(A)=0，∀A∈Mn(F)，因此f=0，α= ±1，即T(A)=αPAP-1，∀A∈Mn(F)，其中α=±1.

(2)当T(A)=αPAtP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，证明和(1)类似，略.

定理的第二部分是显然的，略.

对于域F来说，记F2={a2|a∈F}.

定理2n≥3时，变换T:Mn(F)→Mn(F)，且F2=F，如果满足

那么存在矩阵P∈Un(F)={P∈GLn(F)|PtP=Ⅰn}，使得

或者

其中α=±1.

反之，Mn(F)上任意形如(1)，(2)的变换都满足条件(i)和(ii).

证明 由文献［6］可知T是线性的，再由文献［8］可得存在矩阵P∈GLn(F)，使得

或者

其中α∈F*，f是Mn(F)上的线性函数.

(1)当T(A)=αPAP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，由条件(ii)可得对于任意A，B∈Mn(F)，有

当B=Ⅰ时，Tr(A)=α2Tr(A)+αf(Ⅰ)Tr(A)+αf(A)n+nf(A)f(Ⅰ)，∀A∈Mn(F)，由此可得

故f(A)=0，∀A∈Mn(F)，因此f=0，α=±1，即T(A)=αPAP-1，∀A∈Mn(F)，其中α=±1.

因为对于任意A，B∈Mn(F)，有

所以A=(PtP)A(PtP)-1，∀A∈Mn(F)，即A(PtP)=(PtP)A，∀A∈Mn(F)，则PtP是数量矩阵，设PtP=Ⅰn，因为F2=F，所以我们可以记=a2.对于可逆矩阵a-1P来说，(a-1P)t·a-1P=a-1Pt·a-1P=a-2(PtP)=a-2Ⅰ=a-2a2Ⅰ=Ⅰ，也就是存在矩阵P∈Un(F)={P∈GLn(F)|PtP=Ⅰ}，使得T(A)=αPAP-1，∀A∈Mn(F)，其中α=±1.

(2)当T(A)=αPAtP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，证明和(1)类似，略.

定理的第二部分是显然的，略.

定理3n≥3时，变换T:Mn(F)→Mn(F)，如果满足

那么存在矩阵P∈GLn(F)，使得

或者

其中α=±1.

反之，Mn(F)上任意形如(1)，(2)的变换都满足条件(i)和(ii).

证明 由文献［6］可知T是线性的，再由文献［8］可得存在矩阵P∈GLn(F)，使得

或者

其中α∈F*，f是Mn(F)上的线性函数.

(1)当T(A)=αPAP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，由条件(ii)可得对于任意A，B∈Mn(F)，有

故f(A)=0，∀A∈Mn(F)，因此f=0，α±1，即T(A)=αPAP-1，∀A∈Mn(F)，其中α=±1.

(2)当T(A)=αPAtP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，证明和(1)类似，略.

定理的第二部分是显然的，略.

定理4n≥3时，变换T:Mn(F)→Mn(F)，如果满足

那么存在矩阵P∈GLn(F)，使得

其中α=±1.

反之，Mn(F)上任意形如(1)，(2)的变换都满足条件(i)和(ii).

证明 由文献［6］可知T是线性的，再由文献［8］可得存在矩阵P∈GLn(F)，使得

或者

其中α∈F*，f是Mn(F)上的线性函数.

(1)当T(A)=αPAP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，由条件(ii)可得对于任意A，B∈Mn(F)，有

当B=Ⅰ时，B*=Ⅰ，因此

故f(A)=0，∀A∈Mn(F)，因此f=0，α=±1，即T(A)=αPAP-1，∀A∈Mn(F)，其中α=±1.

(2)当T(A)=αPAtP-1+f(A)Ⅰ，∀A∈Mn(F)时，证明和(1)类似，略.

定理的第二部分是显然的，略.

［1］ Li C K ，Pierce S.Linear preserver problems［J］.Amer.Math.Monthly，2001，108:591-605.

［2］ Liu S W，Zhao D B.Introduction to Linear Preserver Problems［M］.Harbin Press，Harbin，China，1997.1-23.

［3］ Guterman A，Li C K，Semrl P.Some general technigues on linear preserve problems［J］.Linear Algebra Appl，2000，315:61-81.

［4］ Omladic M，Semrl P.Additive mappings preserving operators of rank one［J］.Linear Algebra Appl，1993，182:239-256.

［5］ 张显，曹重光.保不变量的矩阵加群同态［M］.哈尔滨:哈尔滨出版社，2001.

［6］ Zheng Baodong，Sheng Yuqiu.On transformation partly preserving a nonsingular bilinear function［J］.Linear Algebra Appl，2005，403:273-284.

［7］ Oliveira G N，Sa E M，Da Silva J AD.On the eigenvalues of the matrix［J］.Linear and Multilinear Algebra，1977，5:119-128.

［8］ 陈嘉佳，谭宜家.关于矩阵空间上保持极小秩的线性算子［J］.福州大学学报，2007，35(1):6-8.