联合系统中原子纠缠态保真度演化特性研究

王菊霞

(渭南师范学院a.物理与电气工程学院;b.x射线基础研究中心，陕西渭南714000)

量子光学和信息科学的结合促使了光量子信息科学的形成和发展。量子态是量子信息的载体，量子态在演化过程中实现量子信息的存储、传递和处理。量子信息的传输过程中总会存在一定概率的失真［1］，为了描述量子信息的存储、传递和处理，获取量子态保持的程度，关系到量子复制的精确度、量子计算的可靠性以及量子通信的失真度［2－3］，人们引进了一个重要的概念——保真度，它表征了输入态与输出态的接近程度.在信息的传输过程中总是期望达到更佳的输出效果，于是人们尝试过各种途径来提高保真度，近年来取得了一定的成果，并广泛应用于量子通信、量子计算理论研究、量子密码术等方面［4－7］，显然研究信息传输过程的保真度是十分必要的，也具有实际意义.目前对保真度的研究已成为量子通信以及量子计算等领域中的热点问题之一并取得了一定的成就［7－13］：段路明、郭光灿研究了纯态编码中的量子信息保真度［7］，田永红等人研究了量子隐形传态理论中的保真度［8］，周并举等研究了大失谐腔QED中任意初态双原子系统的量子信息保真度［9－10］以及J-C模型的保真度［11－13］.但这些研究大部分主要涉及纯态情形，且仅仅是对单个腔场而言，而对于任意多个腔场构成的联合物理系统尚未见报道.但是，一般来说原子都处于一种统计混合态，研究混合态原子的动力学性质不仅具有普遍意义，而且对存在噪声条件下的量子通信具有更重要的现实意义.本文利用全量子理论，采用腔QED方案，即腔场中的原子作为量子信息存储器和处理器，核心是腔场与原子的相互作用，通常情况下，把量子信息储存在二能级原子的原子能态上.因此，光腔中原子系统是实现量子器件的理想系统.通过研究原子与腔场相互作用过程中原子纠缠态向光场纠缠态传递的保真度，可能找到影响保真度的因素，从而寻求提高保真度的方法和途径.本文的结果和结论将对实现量子信息处理具有现实的指导意义.

1 模型及原子的约化密度矩阵

1.1 模型及其精确解

考虑由若干个子系统构成的物理联合系统，每个子系统由耦合双原子与单模腔场组成，在每个子系统中原子、光场之间分别是相互相干的.那么，该系统在相互作用表象中，旋波近似下的有效哈密顿量为(ħ=1)：

1.2 原子的约化密度矩阵

为了不失一般性，考虑初始原子处于典型的纠缠态：

|gk〉(|ek〉)表示第K个腔中的原子处于基态(激发态)，下标a表征原子.同时考虑初始光场为相干态的情形：

2 原子纠缠态保真度的分析

为了描述输出量子态与输入量子态的偏差程度，人们引入了一个重要的物理概念——量子信息保真度，保真度的定义为［14］

其中：ρ1和ρ2分别为输入态和输出态对应的密度算符，保真度的取值范围在0～1之间。对于量子纯态，=1，F(ρ1，ρ2)=trρ1ρ2. 当 F(ρ1，ρ2)=0 时，量子信息(量子态) 在传输过程中完全失真，终态与初态正交;当F(ρ1，ρ2)=1时，表示信息理想传输(不失真)，终态与初态相同(两态距离最近).在量子态的传递过程中必然要考虑保真度问题，也只有较高保真度的量子信息传递才具有实际意义.

如果原子、光场分别处于(3)、(4)式时，根据(5)、(6)式可求得原子的保真度为

通过对式(7)进行数值计算表明：Fa(t)由时间(t)、光场初始光子数(n0)、光场与原子的耦合强度(g)、复几率幅(Aξ、Aη)，相邻腔场的相对相位(ξ、η)以及光场和原子跃迁频率(ωf、ωa)等多个因素共同来决定.但ξ、η、ωf、ωa对原子保真度几乎没有太大影响，主要的影响因素包括以下三个：

2.1 光场与原子的耦合强度对原子纠缠态保真度的影响

当光场初始光子数 n0=100，复几率幅Aξ=1+0.5i，Aη=0.99+0.1i时，将光场与原子的耦合强度g的值从很小变化到较大的范围，其主要的变化趋势由图1典型的曲线来表示.

图1 原子保真度随着g变化的演化曲线

从图1显然可知，原子保真度演化呈现出振荡性以及崩塌回复特性.随着原子与光场的耦合程度的增强，振荡的频率逐渐加快，而且崩塌回复也越来越频繁，崩塌回复现象也越来越明显.在原子与光场的相互作用的整个过程中，原子保真度始终未超过0.6，而更多的时间范围其值稳定在0.3附近，说明原子与光场的耦合强度对原子保真度有较强烈的影响，使初始原子纠缠态不能保持原态，而是纠缠态部分保持.保真度变化的物理本质是，当光场和原子之间的关联增强时，光场和原子的保真度减小;光场和原子相互作用减弱时，光场和原子的保真度要增加.

2.2 原子及光子的复几率幅对原子纠缠态保真度的影响

当n0=100，g=0.05，改变Aξ、Aη的值时，对应的原子保真度随时间的演化曲线如图2所示。

在图 2 中，(a)Aξ=Aη=0.1+0.1i，|Aξ|=|Aη|=0.1414;(b)Aξ=0.5+0.1i，Aη=0.3+0.1i，|Aξ|=0.5099，|Aη|=0.3162;(c)Aξ=0.5+0.8i，Aη=0.8+0.1i，|Aξ|0.9434，|Aη|=0.8062;(d)Aξ=0.6+0.8i，Aη=0.8+0.6i，|Aξ|=1，|Aη|=1(i=是虚数单位).可明显看出：随着原子从高能态到低能态跃迁的复几率幅或湮没一个光子的复几率幅的幅值(|Aη|或|Aξ|)的增加，原子保真度的振荡频率明显加快，振动的幅度也逐渐减小，而且越来越频繁地出现类似于拉比振荡的坍塌—复原现象.从原子保真度的数值大小来看，其值基本上没有超过0.6，而且相互作用过程中，基本不为零，说明初始的原子纠缠态没有完全保持原来纠缠度最大的状态，光场也没有退化到初始的相干态，两者均处于部分纠缠态，只要不退纠缠，将有利于量子信息的传递.

2.3 初始光强对原子纠缠态保真度的影响

当 g=0.05，Aξ=0.1+0.1i，Aη=0.1+0.1i时，改变 n0的值，原子保真度的演化曲线如图3 所示.

图3表明：光场的初始光子数，即初始光强也对原子保真度产生较大的影响.随着时间的推移，保真度呈现类似周期性的振荡，且幅度逐渐衰弱;光强越强，振荡的频率越快.与图1和图2比较可知，初始光强在影响保真度的振荡频率方面比前两者更为敏感.只要增强光强，会使振荡频率慢得多.另外，光子数的变化能使坍塌—回复效应明显减弱.

综上所述，三种因素的影响过程有一定的相似性.但初始光强对振荡频率的影响更为明显;原子与光场的耦合强度对崩塌—回复效应的影响最为突出;原子及光子的复几率幅兼有其二重影响.初始光场的光子数、原子—光场耦合系数、原子及光子的复几率是对原子态保真度产生影响的主导因素.

3 结论

通过对多个相干光场与多个原子分别相互作用的联合系统中原子与光场相互作用过程的研究，结果表明：在腔场中虽然存在原子与光场的相互作用，但初始原子纠缠态不会完全退纠缠，而是处于部分纠缠状态.如果利用原子纠缠态作为量子信息的载体进行传递，那么信息不会丢失;若要处于稳定状态，就需要通过满足以下条件：首先使光场初始光子数尽量少，即光强较弱;其次需要通过控制使得原子与光场耦合程度较弱;再次使原子跃迁的复几率幅或者光子的复几率幅的幅值减小.另外其他因素的变化对原子保真度不会造成太大影响.

［1］Sleator T，Weinfurter H.Realizable universal quantum logic gates［J］.Phys.Rev.Lett，1995，74(20)：4087 －4090.

［2］Gershenfield N A，Chuang I L.Bulk spin-resonance quantum computation［J］.Science，1997，275：350 －356.

［3］Divincenzo D P，Bacon D，Kempe J，et al.Universal quantum computation with the exchange interaction［J］.Nature，2000，408：339－342.

［4］LIU Tang-kun，WANGJin-huo，LIU Xiao-jun，et al.Influence of entangled states of atomic dipole-dipole interaction on the fidelity of quantum states［J］.Acta Physica Sinica(物理学报)，2000，49(4)：708 －713.

［5］Vadeiko I P，Miroshnichenko GP.Algebraic approach to the Tavis-Cummings Problem［J］.Phys.Rev.A，2003，67：53808 －53821.

［6］Alsing P，Guo D S，Carmichael H J.Dynamic Stark effect for the Jaynes-Cummings system［J］.Phys.Rev.A，1992，45：5135－5143.

［7］DUAN Lu-ming，GUO Guang-can.Perturbative expansions for the fidelity and spatially correlated dissipation of quantum bits［J］.Phys.Rev.A，1977，56(6)：4466 －4470.

［8］田永红，徐大海，韩立波.纠缠态原子与压缩真空场Raman相互作用的量子信息保真度［J］.原子与分子物理学报，2006，23(2)：255－261.

［9］周并举，易有根，周清平，等.大失谐腔QED中任意初态双原子系统的量子信息保真度［J］.原子与分子物理学报，2007，24(4)：868 －874.

［10］周并举，刘小娟，方卯发，等.负值量子条件熵与双量子系统一类混合态纠缠量度［J］.物理学报，2007，56(7)：3937－3944.

［11］章国顺，杨名，曹卓良，等.好腔中的Bell态原子与纠缠相干态光场相互作用系统的保真度［J］.原子与分子物理学报，2008，25(5)：1287 －1293.

［12］ZHOU Xiao-yan，FANG Jian-xing，SHA Jin-qiao，et al.Studying the Thermal Entanglement and Quantum Telepor tation of I-sing Model［J］.Acta Sinica Quantum Optica，2008，14(2)：120 －125.

［13］卢道明.频率变化场J-C模型中的量子态保真度［J］.光子学报，2010，39(2)：329－334.

［14］Jozsa R.Fidrlity for mixed quantum states［J］.Journal of Modern Optics，1994，41(12)：2315 －2323.