悬挂在做微小扰动小船下物体运动的分析

潘 静，洪 义

(渭南师范学院物理与电气工程学院，陕西渭南714000)

0 引言

船用起重机是在海上环境中执行运输作业的一种特殊起重机，主要用于舰船间货物的运输转移、海上补给、水下作业设备的投放与回收等重要任务.海上特殊的应用环境给船用起重机的控制带来了很大的挑战.这种起重机固定于船舶等运动平台上，平台本身的运动会对负载运动产生强烈的影响，使其出现摇摆，甚至出现共振现象.特别是在投放过程中，船舶的运动易导致已吊起的负载与先前放置的其它负载相撞，或使已放下但尚未脱离吊钩的负载再次悬空，这些都会威胁作业的安全.尤其在进行舰船间弹药补给时，这种耦合运动可能造成非常严重的后果.近年来，船用起重机的控制得到各国军用、民用海洋工程的普遍关注，而研究此类非线性、强耦合的欠驱动系统在特殊扰动下的控制亦有重要的理论价值与意义［1－4］.

1 模型分析

本文通过简化的物理模型对船用起重机上悬挂的物体的运动进行了分析，并给出了详细的公式推导过程［5］.实际系统是十分复杂的，完全按其本来面目进行振动分析既不可能，也无必要.为此，必须首先建立能代表实际系统的简化的力学模型.这个模型应保持原系统的基本振动特性，但又不过于复杂.所以该问题可以简化为以下的物理模型：在水平面上放置一小船A，其下悬挂一质量为m的小球B.小船A和小球B的运动示意图如图1所示.当小船A在水平面上做微幅余弦运动时，对于小球B的运动，可由以下分析求得.

图1 小船A和小球B运动示意图

令小船A的坐标为(x1，y1)，小球B的坐标(x2，y2)，小船A与小球B之间的连接杆为刚性杆，长为L.杆与垂直方向的夹角为a.小船A的运动方程为

其中：b为小船A的运动幅值，ω为频率，tm为缓冲周期.

小球B的运动过程为：

对小球B进行受力分析，在水平方向，

把x2代入上式可得：

同理，在垂直方向，

把y2代入上式可得：

由(3)×cos a+(4)×sin a化简可得：

当a较小时，可令sina≈a，cosa≈1，故(5)式可以变为

方程(6)就是在该模型下得到的小球B运动的二阶微分方程，它的解为

当t=0时，a=0，得到B=0

所以小球B运动的解析表达式为

2 算例分析

根据上述公式，可以对一些具体情况进行计算.计算条件见表1.

表1 计算条件

不同条件下，小球B的运动幅值变化情况见图2和图3.

由图2和图3可知，随着小船A运动周期的增加，小球B在水平方向和垂直方向的运动幅值都是先增大后减小，当周期增大到某一值之后，再增大周期，小球B在水平方向和垂直方向的幅值随周期增加变化不大.

对于两种杆长，都存在小船A的某一周期附近小球B的位移发生突变的情况，即在该周期附近，小球B的运动幅值很大，这表示小球运动周期与小船A的运动周期非常接近，也就是说发生了共振现象.下面对这一周期进行研究.在前面的公式推导中，系数C存在分母为0的情况，令分母为0可得：

所以，当杆长分别为10m和20m时，周期T1分别为6.3s和9.0s.而图2和图3中正好显示在该周期情况下，小球的运动幅值均最大.

3 结论

(1)对做余弦运动的小船下悬挂的小球进行理论分析，得到了小球B运动方程的解析表达式.

(2)通过算例分析发现，当小船A运动周期与某一周期接近时，发生共振现象，小球B的运动幅值最大;反之，小球B运动幅值与小船A的周期关系很小.

船用起重机在海上航行会产生不同程度的振动，如果振动系统固有频率与激励频率一致，就会产生共振现象，影响船舶的正常运行，产生危害.例如，船体结构和机械部件的疲劳损坏，机器和设备的正常运转等.所以根据以上结论可以在设计阶段进行船舶振动的预报，提供一套减小船舶振动的理论依据，采取合适的减振措施，改善船舶振动的特性.

［1］邱志成，赵明杨，谈大龙，等.一种具有波浪补偿和防晃功能的船用起重机［J］.工程机械，1999，(2)：12－13.

［2］邵曼华，寇熊，赵鹏程.几种船用起重机波浪补偿装置［J］.船舶标准化工程师，2004，(2)：14－16.

［3］赵珍强.船用起重机波浪补偿技术研究［J］.船舶标准化工程师，2009，42(2)：15－17.

［4］王鹏程，方勇纯，相吉磊，等.回转旋臂式船用起重机的动力学分析与建模［J］.机械工程学报，2011，47(20)：34－40.

［5］黄大琪.一阶与二阶微分方程在物理中的应用举例［J］.芜湖联合大学学报，1998，2(1)：6－8.