考虑地下水、注浆及衬砌影响的深埋隧洞弹塑性解

胡力绳，王建秀，卢耀如

（1. 中铁二局股份有限公司, 成都 610031；2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室,上海 200092）

1 引 言

对于深埋隧洞，地下水-围岩-注浆圈-衬砌共同构成了一个水压平衡体系，它们之间的相互作用决定了围岩稳定、注浆圈止水以及衬砌受力的最终状态。在深埋隧洞应力与塑性区计算方面，经典的隧洞弹塑性解均没有考虑渗流场的作用[1－7]；Поинматкин[8]首次推导了各因素对称条件下渗流场作用下的圆形断面隧洞弹性解；Fenner公式、修正的Fenner公式和Kastner公式[9]给出了无限大均质体中轴对称圆形隧洞屈服范围与材料抗剪强度、初始地应力和洞内周边均布荷载的关系；张德兴[10]推导了承压引水隧洞的黏弹性解；王桂芳[11]给出了隧洞围岩自重作用下，衬砌、围岩变形及内力的黏弹性解；张良辉等[12]基于岩体弹脆塑性模型及非关联流动法则，并考虑地下水压力的作用，对灌浆隧洞围岩应力与位移的计算公式进行了理论推导；蔡晓鸿等[13－16]提出了不同施工阶段不同排水条件下，水工压力隧洞围岩和衬砌结构应力的弹塑性计算方法；宋俐等[17]修正了Fenner公式，但未考虑衬砌透水性的影响；任青文[18]通过修正Fenner公式，对水工隧洞运行期高内水压作用下围岩塑性区半径进行了计算；李宗利等[19]推导了渗流场作用下，第一主应力为径向应力的深埋圆形隧洞应力弹塑性解，但并未考虑衬砌及注浆圈的影响；吉小明、王宇会[20]给出了隧洞工程饱和孔隙介质地层中考虑地下水渗流力作用下的应力、位移表达式；任青文、邱颖[21]针对具有衬砌的圆形隧洞，得出了弹塑性条件下应力与塑性区的计算公式和适用条件；王秀英等[22－23]建立了山岭隧洞堵水限排情况下围岩力学特性分析的解析模型并进行了理论推导；张黎明等[24]考虑地下水渗流场的作用，将裂隙围岩视为两相介质体，基于弹性力学理论和岩体应变非线性软化特征对衬砌隧洞进行了弹塑性分析，推导了渗流场作用下围岩与衬砌的应力和位移解析计算公式；Bobet[25]推导了全排水或不排水条件下隧洞衬砌结构应力弹性解计算公式，国外其他学者在此方面也进行了大量研究[26－29]。

目前，相对成熟的隧洞围岩荷载设计理论仅涉及到 4个因素中的隧洞围岩-支护结构体系之间的相互作用，在地下水影响方面，仅在围岩分类中采用降级的方法予以考虑；国内外学者的研究只考虑了地下水、围岩、注浆圈、衬砌其中部分因素的相互作用。基于此，本文推导了上述 4个因素共同作用下的深埋隧洞轴对称问题的弹塑性解及塑性区计算公式，并与传统计算方法进行了对比，推导过程分为渗流场水压力计算与应力计算两部分。

2 考虑地下水与注浆影响的隧洞渗流场水压力计算

深埋隧洞渗流场水压力计算基于以下假定：①围岩为均质各向同性连续介质；②含水层面积无限延伸，水流服从达西定律且为稳定流；③地下水不可压缩，当水头下降时，水瞬时排出；④隧洞断面为圆形，水直接从衬砌表面均匀渗出后排出；⑤隧洞埋深远远大于隧洞洞径，洞周渗流可简化为轴对称径向渗流问题。分别以围岩、注浆圈及衬砌为研究对象，并利用边界条件，解得隧洞渗流场孔隙水压力计算公式[30]

3 考虑地下水与注浆影响的隧洞应力与塑性区计算

3.1 基本假定与计算模型

计算公式推导基于以下基本假定：①含水层面积无限延伸，地下水不可压缩，水流服从达西定律且为稳定流；②不考虑重力场的作用；③远场垂直地应力与水平地应力相等；④围岩、衬砌为均质各向同性连续弹塑体介质，衬砌与围岩共同作用并保持变形连续；⑤隧洞埋深远大于洞径，将整个问题等效为轴对称平面问题；⑥围岩与衬砌破坏服从摩尔-库仑屈服准则，屈服区第一主应力为径向应力。已有研究表明，当隧洞内水压力为0或远小于远场地应力时，该假定是合理的[18]。

简化计算模型见图 1，设无穷远处作用有初始地应力q，注浆圈外半径处径向应力为p2，衬砌外半径处径向应力为p1，弹塑性区交界面处的径向应力为pp，塑性区半径为rp，围岩、注浆圈、衬砌的弹性模量分别为Er、Eg、El，泊松比分别为μr、μg、μl，黏聚力分别为cr、cg、cl，内摩擦角分别为φr、φg、φl。

根据弹性力学理论，并考虑渗透水压力的作用，上述问题的平衡微分方程为[1]

式中：α为渗透水压力作用面积系数；σr、σθ分别为计算区域内某点的径向和环向有效应力（文中均简称为径向应力和切向应力，规定拉应力为正，压应力为负）。

图1 计算模型Fig.1 Calculation model

对于塑性区围岩，其屈服条件满足摩尔-库仑准则，当考虑渗透水压力作用时，摩尔-库仑屈服准则变为[13]

式中：c、φ分别为黏聚力与内摩擦角；σ、τ分别为正应力与剪应力。

根据基本假定 σθp＜σrp＜0，得到屈服区径向应力σrp与切向应力σθp的关系式为

3.2 弹塑性区交界面位于衬砌内（ r0< rp≤r1）

对于注浆圈范围之外、注浆圈范围之内的弹性区围岩，应力边界条件为

根据文献[3]，对于边界条件式中的第1项，可用有限半径代替无限值的计算结果，取有限半径为r2，根据平衡微分方程式（2），可解得弹性区位移及应力计算公式为

式中：Ur,rcok、σr,rcok、σθ,rcok分别为注浆圈之外围岩的径向位移、径向应力与切向应力； Ur,grout、σr,grout、σθ,grout分别为注浆圈的径向位移、径向应力与切向应力。

对于塑性区的应力，根据屈服条件、平衡微分方程及边界条件为

可解得衬砌塑性区径向应力计算公式为

将r=rp代入式（8），解得弹塑性区交界面处的径向应力pp为

根据围岩变形连续假定，得到塑性区半径rp的计算公式为

利用接触条件，在注浆圈外半径、衬砌外半径处围岩变形连续，即

由式（11）可得到p1、p2关于 rp与pp的计算公式，将求得的p1、p2与式（9）代入式（10），可得到关于rp的隐性计算公式，采用迭代法或试算法求解rp，利用rp可求出p1、p2、pp，从而求得弹性区与塑性区应力。

3.3 弹塑性区交界面位于注浆圈内（ r1< rp≤rg）

对于注浆圈范围之外的弹性区围岩，其应力及位移可参照式（6）进行计算；对于注浆圈范围内的弹性区围岩，根据平衡微分方程和边界条件为

得到注浆圈弹性区围岩位移及应力计算公式为

对于隧洞塑性区，可将其分为衬砌范围内及衬砌范围之外注浆圈范围之内两部分进行计算，对于衬砌范围内的塑性区应力计算，根据边界条件

可解得衬砌范围内塑性区径向应力为

将r=rl代入式（15），得到衬砌外半径处的径向应力p1为

对于注浆圈范围内的塑性区应力计算，根据边界条件

可解得注浆圈范围内塑性区径向应力为

将r=rp代入式（18），得到弹塑性区交界面处的径向应力pp为

根据围岩变形连续假定，得到塑性区半径rp的计算公式为

利用围岩变形连续假定，在注浆圈外半径处径向位移相等，即

得到注浆圈外半径处的径向应力p2关于rp与pp的计算公式，将p2与式（19）代入式（20），利用迭代法或试算法可解得rp，利用rp可求出pp、p2，从而求出弹性区围岩应力。

3.4 弹塑性区交界面位于注浆圈之外（ rp>rg）

对于塑性区范围之外的弹性区围岩，根据平衡微分方程和边界条件

可得到弹性区围岩应力计算公式为

对于塑性区围岩，可将其分为未注浆围岩、注浆圈及衬砌3部分，这3部分的应力边界条件为

根据平衡微分方程，可解得塑性区衬砌径向应力为

将r=rl代入式（25），可得衬砌外半径处的径向应力p1为

同理，可解得塑性区注浆圈径向应力为

将r=rg代入式（27），可得注浆圈外半径处的径向应力p2为

塑性区围岩径向应力为

将r=rp代入式（29），得到弹塑性区交界面的径向应力pp为

根据围岩变形连续假定，得到塑性区半径rp的计算公式为

将式（26）、（28）、（30）代入式（31），利用迭代法或试算法可解得rp，利用rp可求出pp，从而求出围岩应力。对于塑性区的切向应力，可以按照屈服条件式（4）进行求解，利用Matlab编制程序对上述公式进行计算。需要说明的是，随着隧洞内水压力的增大，切向应力将可能成为第一主应力，可改变式（4）的屈服条件，对隧洞应力及塑性区计算公式重新进行推导。

4 工程应用

4.1 工程背景

以某深埋隧洞工程为例，计算参数如下：隧洞断面为圆形，衬砌内半径r0=4 m，外半径 rl=5 m，远场稳定水压力P=1 MPa，隧洞内水压力为p0，远场稳定水压力半径 R=200 m，远场地应力q=10 MPa，岩体弹性模量Er=10 GPa，泊松比μr=0.25，黏聚力cr=1 MPa，内摩擦角φr=40º，综合渗透系数kr=5×10-6m/s；注浆圈弹性模量Eg=10 GPa，泊松比μg=0.25，黏聚力cg=1.5 MPa，内摩擦角φg=40º；衬砌弹性模量El=25 GPa，泊松比μl=0.15，黏聚力cl=5 MPa，内摩擦角φl=45º，渗透系数kl=1×10-8m/s；取α=1.0，通过试算法确定有限计算半径取20倍洞径。

4.2 与传统方法计算结果的对比

分别利用本文公式、李宗利公式[19]（该方法未考虑注浆圈及衬砌的影响，取p0=0）、弹性力学厚壁圆筒拉梅解（该方法未考虑渗流场、注浆圈及衬砌的影响，取 P=p0=0）计算隧洞应力与塑性区。

以毛洞开挖阶段为例，该阶段只存在地下水、围岩的相互作用，本文方法与李宗利法的计算结果见图2（rp、分别为两种方法计算的塑性区半径）。从图中可以看出，两种方法计算得到的应力大小、应力分布规律以及塑性区半径均较为接近，从而验证了本文公式的可靠性。

图2 本文方法与李宗利方法计算结果对比Fig.2 Comparison of calculated results between the method presented in this paper and the Lizongli’s method

若不考虑渗流场的影响，将衬砌、注浆圈的物理力学参数与围岩取为一致，则本文计算结果与经典的弹性力学厚壁圆筒拉梅解完全一致（见图3），从而验证了本文公式的正确性。

图3 本文方法与拉梅解计算结果对比Fig.3 Comparison of calculated results between the method presented in this paper and the Lame’s method

分别利用本文公式与修正的Fenner公式，计算了不同条件下的隧洞塑性区。修正的 Fenner公式为[19]

（1）无注浆条件下隧洞塑性区计算

计算了开挖洞径分别为4、5 m，不同渗流场条件下的塑性区（见图4）。从图中可以看出，在第一主应力为径向应力的条件下，随着内水压力的增大，塑性区逐渐减小，两种方法计算结果差异逐渐减小；随着开挖断面的增大，塑性区逐渐增大，两种方法计算结果差异逐渐增大，洞径为4 m时最大差异为2.2 m，洞径为5 m时最大差异为3.4 m；由于修正的Fenner公式没有考虑渗流场的影响，对于无注浆条件下隧洞开挖阶段围岩塑性区的计算，其计算结果较考虑渗流场作用时偏小，计算结果不够安全。

图4 无注浆条件下隧洞塑性区两种方法计算结果对比Fig.4 Comparison of tunnel plastic zone calculated results without grouting between the two methods

（2）注浆条件下隧洞塑性区计算

计算了不同衬砌厚度、不同渗流场条件下的隧洞塑性区，计算结果见图 5。由图可知，随着内水压力的增大，塑性区逐渐减小，两种方法的计算结果差异逐渐减小。随着衬砌厚度的增大，塑性区逐渐减小，两种方法计算结果差异逐渐增大。对于地下水-围岩-注浆圈-衬砌共同作用下的隧洞塑性区计算，由于修正的Fenner公式不能考虑注浆圈对围岩强度的提高、注浆圈的止水作用以及衬砌的影响，其计算结果较考虑上述因素偏大，计算结果偏于保守。

图5 注浆条件下隧洞塑性区两种方法计算结果对比Fig.5 Comparison of grouting tunnel plastic zone calculated results between the two methods

4.3 注浆对塑性区的影响规律

不同注浆条件下注浆圈厚度 Dg与塑性区范围rp的关系曲线见图 6。随着注浆圈厚度的增大与注浆圈止水能力的增强，塑性区逐渐减小，注浆圈厚度与塑性区范围近似呈对数递减关系。注浆圈止水效果越好，增大相同的注浆圈厚度，塑性区减小幅度越大，故在施工中应尽量保证注浆质量。从图中还可以看出，注浆圈厚度并不是越大越好，而是存在最优值，超过该值后继续增大注浆圈厚度对限制塑性区的发展已无明显意义，最优值可根据注浆圈厚度-塑性区关系曲线进行确定。

图6 注浆圈厚度与塑性区范围关系曲线Fig.6 Grouting ring thickness-plastic zone curves

5 结 论

（1）考虑地下水、注浆及衬砌的影响，推导了深埋隧洞轴对称问题的弹塑性解，通过与现有方法进行对比，证明本文公式的计算结果是可靠的。若不考虑渗流场、衬砌及注浆圈的影响，则本文公式的计算结果与厚壁圆筒拉梅解完全一致。

（2）传统的隧洞应力与塑性区计算方法没有或只有部分考虑了地下水、注浆圈、衬砌的作用，以修正的Fenner公式为例，对于无注浆条件下的隧洞塑性区计算，其计算结果是不够安全的；对于注浆条件下的隧洞塑性区计算，其计算结果偏于保守。

（3）与修正的Fenner公式计算结果对比表明，随着内水压力的增大，两种方法计算结果差异逐渐减小；随着开挖断面及衬砌厚度的增大，两种方法计算结果差异逐渐增大。

（4）随着注浆圈厚度的增大与注浆圈止水能力的增强，塑性区范围逐渐减小；注浆圈厚度存在最优值，该值可通过注浆圈厚度-塑性区关系曲线进行确定。

[1] 徐芝纶. 弹性力学(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1982.

[2] 钟桂彤. 铁路隧道[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1987.

[3] 孙钧, 侯学渊. 地下结构: 上册[M]. 北京: 科学出版社, 1991.

[4] 蔡美峰, 何满潮, 刘东燕. 岩石力学与工程[M]. 北京:科学出版社, 2002.

[5] 关宝树. 隧道力学概论[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 1993.

[6] 关宝树. 隧道工程设计要点集[M]. 北京: 人民交通出版社, 2003.

[7] 于学馥, 郑颖人. 地下工程围岩稳定分析[M]. 北京:煤炭工业出版社, 2003.

[8] 樗木武. 隧道力学[M]. 北京: 中国铁道出版社, l983.

[9] 李咏偕, 施泽华. 塑性力学[M]. 北京: 水利电力出版社, 1987.

[10] 张德兴. 渗水黏弹性岩层中有压隧洞的应力分析[J].同济大学学报, 1983, (2): 53－62.ZHANG De-xing. Stress analysis of pressured tunnel in permeable viscoelastic rock stratum[J]. Journal of Tongji University, 1983, (2): 53－62.

[11] 王桂芳. 圆形隧道的黏弹性应力分析[J]. 工程力学,1990, 7(1): 106－127.WANG Gui-fang. Viscoelastic stress analysis of circular tunnels[J]. Engineering Mechanics, 1990, 7(1): 106－127.

[12] 张良辉, 张清, 熊厚金. 水下灌浆隧道围岩应力与位移分析[J]. 西部探矿工程, 1996, 8(2): 55－58.ZHANG Liang-hui, ZHANG Qing, XIONG Hou-jin.Analyses of surrounding stress and displacement of underwater grouting tunnel[J]. West-China Exploration Engineering, 1996, 8(2): 55－58.

[13] 蔡晓鸿, 蔡勇平. 水工压力隧洞结构应力计算[M]. 北京: 中国水利水电出版社, 2004.

[14] 蔡晓鸿. 水工压力隧洞含水围岩的弹塑性应力分析[J].江西水利科技, 1989, (1): 11－28.

[15] 蔡晓鸿. 设集中排水的水工压力隧洞含水围岩弹塑性应力分析[J]. 岩土工程学报, 1991, 13(6): 52－63.CAI Xiao-hong. Elastoplastic stress analysis for water-bearing surrounding rock of water pressure tunnels under concentrate drainage working conditions[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1991,13(6): 52－63.

[16] 蔡晓鸿, 王晓华, 蔡勇斌. 水工压力隧洞灌浆式预应力衬砌弹塑性应力分析[J]. 江西水利科技, 2004, 30(2):56－61.CAI Xiao-hong, WANG Xiao-hua, CAI Yong-bin.Analysis of elasto-plastic stress of the grouting prestress lining of hydraulic work pressure tunnels[J]. Jiangxi Hydraulic Science and Technology, 2004, 30(2): 56－61.

[17] 宋俐, 张永强, 俞茂宏. 压力隧洞弹塑性分析的统一解[J]. 工程力学, 1998, 15(4): 57－61.SONG Li, ZHANG Yong-qiang, YU Mao-hong.Plastoelastic unified analysis of pressure tunnel[J].Engineering Mechanics, 1998, 15(4): 57－61.

[18] 任青文, 张宏朝. 关于芬纳公式的修正[J]. 河海大学学报, 2001, 29(6): 109－111.REN Qing-wen, ZHANG Hong-chao. A modification of Fenner formula[J]. Journal of Hohai University, 2001,29(6): 109－111.

[19] 李宗利, 任青文, 王亚红. 考虑渗流场影响深埋圆形隧洞的弹塑性解[J]. 岩石力学与工程学报, 2004, 23(8):1291－1295.LI Zong-li, REN Qing-wen, WANG Ya-hong.Elasto-plastic analytical solution of deep-buried circle tunnel considering fluid flow field[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(8): 1291－1295.

[20] 吉小明, 王宇会. 隧道开挖问题的水力耦合计算分析[J]. 地下空间与工程学报, 2005, 1(6): 254－258.JI Xiao-ming, WANG Yu-hui. Hydromechanical coupling analysis of tunnel excavation process[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2005,1(6): 254－258.

[21] 任青文, 邱颖. 具有衬砌圆形隧洞的弹塑性解[J]. 工程力学, 2005, 22(2): 212－217.REN Qing-wen, QIU Ying. Elastic-plastic solution of circular tunnel with liner[J]. Engineering Mechanics,2005, 22(2): 212－217.

[22] 王秀英, 潭忠盛, 王梦恕, 等. 山岭隧道堵水限排围岩力学特性分析[J]. 岩土力学, 2008, 29(1): 75－80.WANG Xiu-ying, TAN Zhong-sheng, WANG Meng-shu,et al. Analysis of mechanical character of surrounding rock with controlled drainage in mountain tunnels[J].Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(1): 75－80.

[23] 王秀英, 潭忠盛, 王梦恕, 等. 高水位隧道堵水限排围岩与支护相互作用分析[J]. 岩土力学, 2008, 29(6):1623－1628.WANG Xiu-ying, TAN Zhong-sheng, WANG Meng-shu,et al. Analysis of interaction between surrounding rock and lining in high water-level tunnels with controlled drainage[J]. Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(6):1623－1628.

[24] 张黎明, 李鹏, 孙林娜, 等. 考虑地下水渗流影响的衬砌隧洞弹塑性分析[J]. 长江科学院院报, 2008, 25(5):58－63.ZHANG Li-ming, LI Peng, SUN Lin-na, et al.Elastico-plastic analysis of lined tunnel in underground water permeation[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute, 2008, 25(5): 58－63.

[25] BOBET A. Effect of pore water pressure on tunnel support during static and seismic loading[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2003, 18(4): 377－393.

[26] CARRANZA T C, ZHAO J. Analytical and numerical study of the effect of water pressure on the mechanical response of cylindrical lined tunnels in elastic and elasto-plastic porous media[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 2009, 46(3): 531－547.

[27] ARJNOI P, JAE H J, CHANG Y K, et al. Effect of drainage conditions on pore water pressure distributions and lining[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2009, 24(4): 376－389.

[28] NAM S W, BOBET A. Liner stresses in deep tunnels below the water table[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2006, 21(6): 626－635.

[29] LEE S W, JUNG J W, NAM S W, et al. The influence of seepage forces on ground reaction curve of circular opening[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2006, 22(1): 28－38.

[30] 王秀英, 王梦恕, 张弥. 计算隧道排水量及衬砌外水压力的一种简化方法[J]. 北方交通大学学报, 2004, 28(1):8－10.WANG Xiu-ying, WANG Meng-shu, ZHANG Mi.Analysis of interaction between surrounding rock and lining in high water-level tunnels with controlled drainage[J]. Journal of Northern Jiaotong University,2004, 28(1): 8－10.