一个常见不等式的推广及其应用

黄华平，胡松林(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

众所周知，不等式不仅在数学的其它学科，诸如高等代数、微分方程、概率论、数理统计、离散数学、运筹学、复变函数、实分析与泛函分析等方面有重要的应用，而且在普通物理学、量子力学、材料学、建筑学等其它学科也有广泛的应用. 所以探讨各种不等式的性质，想办法把它应用到实际生活生产中显得尤为必要. 本文首先将初等数学中一个常用的不等式进行了各种形式的推广，然后给出了它的一些应用.

1 主要结果

初等数学中有这样一个不等式：

此式当且仅当x=y时取等号. 这是一个非常重要的不等式，在中学数学或高等数学中会经常碰到. 下面给出上述不等式的几种推广形式.

定理1 设p≥1,x≥0,y≥0,则有不等式：

(1)

此式当且仅当x=y或p=1 时取等号.

证明 当x=y=0 时不等式显然成立. 当x+y>0 时不等式(1)等价于

(2)

L(u,v,λ)=up+vp+λ(u+v-1)

所以

注意，上述证明过程首先考虑了将原不等式转化二元函数的条件极值问题，然后充分利用了Lagrange乘数法，从而将问题迎刃而解. 此方法有一定的优越性，但是计算量比较大. 下面首先给出(1)式的几种推广形式，然后给出了详细的证明过程. 证明中避开了利用Lagrange乘数法的解题思想，进而将问题大大简化.

定理2 设0≤λ≤1,x≥0,y≥0,p≥1,则有

λxp+(1-λ)yp≥[λx+(1-λ)y]p

(3)

此式当且仅当x=y或p=1 时取等号.

证明 当x,y中至少有一个为 0时，结论显然成立. 下设x>0,y>0, 将(3)式不等号两端同除以xp可得

(4)

下证(4)式成立. 事实上，令

f(t)=λ+(1-λ)tp-[λ+(1-λ)t]p

则f′ (t)=p(1-λ)tp-1-p(1-λ)[λ+(1-λ)t]p-1=p(1-λ){tp-1-[λ+(1-λ)t]p-1}

下面分两种情况讨论.

1)当t≥1 时，t≥λ+(1-λ)t,从而tp-1≥[λ+(1-λ)t]p-1，进而f′(t)≥0, 导致f(t) 在[1,+∞)上单调递增，于是f(t)≥f(1)=0，即得(4)式.

2)当t≤1 时，t≤λ+(1-λ)t,从而tp-1≤[λ+(1-λ)t]p-1，进而f′(t)≤0, 导致f(t)在 (0,1]上单调递减，于是f(t)≥f(1)=0，即得(4)式.

推论1 设α,β≥0,α+β=1,x,y≥0,p≥1,则有

αxp+βyp≥(αx+βy)p

(5)

此式当且仅当x=y或p=1 时取等号.

(6)

此式当且仅当x1=x2=…=xn或p=1 时取等号.

证明 当n=1 时结论显然成立. 当n=2 时，由推论1得到结论也成立. 下面先假设(6)式成立，要证

由(6)式和(5)式得到

(λ1x1+λ2x2+…+λn+1xn+1)p

最后由数学归纳法即得结论.

注1 显然(6)式将(5)式进行了大大的推广.

注2 上述各结论中，若p<0 ，其它条件不变，则不等号同样成立；若0

定理4 设p≥1,x≥0,y≥0,则

xp+yp≤(x+y)p≤2p-1(xp+yp)

当且仅当p=1时上式都取等号.

证明 首先，直接由(1)式得出

(x+y)p≤2p-1(xp+yp)(x,y≥0)

故只需证

xp+yp≤(x+y)p(x,y≥0)

(7)

1+tp≤(1+t)p

(8)

推论2 设p≥1,0≤x≤1, 则

当且仅当p=1 时上式都取等号.

证明 由定理4得

由于 0≤x≤1， 上式取y=1-x即得结论. 或者这样证：考虑f(x)=xp+(1-x)p在[0,1] 上的最大值和最小值即可.

定理5 设p≥1,xi≥0,i=1,2,… ，n,则

当且仅当p=1 时上式都取等号.

下证

(9)

事实上，当n=1 时显然成立. 当n=2 时，即为(7)式. 下面假设(9)式成立，然后由(7)式和(9)式得到

于是由数学归纳法即得(9)式.

注 当0

其中x=(x1,x2,…,xn,…)∈lp,y=(y1,y2,…,yn,…)∈lq.

定理6 设x=(x1,x2,…,xn,…)∈lp,y=(y1,y2,…,yn)∈lq, 若规定

xy=x1y1+x2y2+…+xnyn+…

则

‖xy‖1≤‖x‖p‖y‖q≤‖x‖1‖y‖1

证明 ‖xy‖1≤‖x‖p‖y‖q即为引理1中的Hölder不等式. 下证

‖x‖p‖y‖q≤‖x‖1‖y‖1

(10)

由定理5得到

上式不等号两边分别让n→∞ ,得到 ‖x‖p≤‖x‖1，同理可得‖x‖q≤‖y‖1.此两式相乘即得(10)式.

2 应用

定义1[5]设X为一个非空集合，K≥1为一常数. 如果映射ρ:X×X→[0,+∞)对于∀x,y,z∈X，满足下述条件：

i)ρ(x,y)≥0,∀x,y∈X,ρ(x,y)=0⟺x=y;

ii)ρ(x,y)=ρ(y,x);

iii)ρ(x,y)≤K[ρ(x,z)+ρ(z,y)].

则称(X,ρ) 为度量型空间.

注 当K=1 时，度量型空间退化为度量空间，从而可以知道度量型空间是度量空间的大大推广.

例1 设p≥1,X=K，K为实数域或复数域. 定义

则 (X,ρ)为度量型空间.

证明 定义1中的i)、ii)显然成立. 下面只验证iii). 如下：

∀x,y,z∈X,由(1)式得到

从而

ρ(x,y)≤2p-1[ρ(x,z)+ρ(z,y)]

所以结论成立.

例2 设ai≥0,i=1,2,… ，9,证明

证明 注意到

于是由定理3即得结论.

参考文献：

[1]朱来义.微积分(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2009.

[2]陈庆华.高等数学(第一版)[M]. 北京：高等教育出版社, 1999.

[3]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2002.

[4]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义(上册) (第一版) [M]. 北京：北京大学出版社, 1987.

[5]Khamsi M A, Hussain N. KKM mappings in metric type spaces[J]．Nonlinear Analysis，2010, 73: 3123～3129.