质点在不同初始条件下做有心力运动的探讨

江昌龙

（黄山学院 信息工程学院，安徽 黄山245041）

0 引 言

在理论力学[1]教材书中有专门的章节介绍了质点在有心力作用下的运动，推导出比耐公式和能量方程，并讨论万有引力和库仑引力两种有心力模型，对比耐公式和能量方程进行了初步求解，但文中没有确定求解结果中的系数，而且也没有讨论方程在什么样的情况下有解以及说明初始条件的不同会对结果造成什么样的影响。事实上，方程中的系数是由初始条件来确定的，若初始条件给定，质点在有心力作用下的运动也将确定。初始条件不同，运动结果也将大相径庭，基于这方面的考虑，本文系统全面阐述了质点在不同初始条件下做有心力作用下的运动探讨，对与平方成反比力的有心力模型做了深刻而细致的计算，对教材中的内容做了扩展和补充。

一般来说，对于二体运动问题，如果其中一方位置固定或者质量远大于另一方，就可以化为单质点运动问题，也就是本文所讨论的问题模型。此问题模型的探讨在天体运动、人造卫星的发射，微观粒子在静电场中的运动等相关一类问题都有广泛的应用。

1 质点在极坐标系下的动力学方程

在初始位置给出一定的初始速度，质点在有心力作用下开始运动，以r(r＞0)代表极径，θ代表极角，如图1所示，则在极坐标系下质点运动的动力学方程可以表示为：

图1 极坐标系下质点在有心力作用下的运动

4 总结

以上讨论了质点在与距离平方成反比的有心力作用的条件下由于初始条件的不同而造成对运动结果及对运动轨迹的影响。

1.应用比耐公式也可以计算质点的运动方程，但采用能量方程更具广泛意义。计算结果表明，质点运动的轨迹曲线与初始条件的r0，v0和α角都有关系。

2.在0＜α＜π时，可以根据初始条件把质点的运动的在极坐标系下的运动学方程比较容易得算出来。在α=0或π时，要根据初始条件计算质点在有心力作用下沿直线运动时位置与时间的关系时，该方程难以把位置表示成时间的函数关系，但是可以比较容易把时间表示成位置的函数关系。

[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，1986.